第一章三角形的证明-垂直平分线与角平分线讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

第二讲 垂直平分线与角平分线 知识点一：线段垂直平分线的性质 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.三角形三条边的垂直平分线的性质 性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。 【例1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　） A．13 B．15 C．17 D．19 例1题图 变式1-1 变式1-2 变式1-3 【变式1-1】如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　 　 【变式1-2】如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（　　） A．50° B．100° C．120° D．130° 【变式1-3】如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 【变式1-4】两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有　 　．（填序号）． ①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°； ⑤筝形ABCD的面积为． 知识点二：垂直平分线的作图 【例2】如图，已知线段a 和h． 求作：△ABC，使得AB＝AC，BC ＝a，且BC边上的高AD＝h． 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【变式2-1】如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？ 【变式2-2】如图所示，A，B，C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展，现三镇要联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等，请作出变电站的位置（�用点P表示） 知识点三：角平分线的性质 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2.角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3.三角形三内角的角平分线性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 【例3】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 【变式3-1】如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是　 ． 变式3-1 变式3-2 变式3-3 变式3-4 【变式3-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（　　） A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 【变式3-3】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-4】如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 知识点四：角平分线的作图 【例4】如图，107国道OA和320国道OB在某市相交于点O，在∠AOB 的内部有工厂C 和D，现要修建一个货站P，使P 到OA、OB的距离相等且PC=PD，用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹，写出结论)． 【变式4-1】如图所示,已知∠AOB和两点M、N画一点P,使得点P到∠AOB的两边距离相等,且PM=PN. 强化练习 1. 如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.求证