2023-2024年人教版八年级数学下学期期末培优专题复习专题四勾股定理（一）

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 （解析版） 专题四 勾股定理（一） （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一.知识点精讲 知识点1 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 2. 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边的关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。 名师点拨 1. 勾股定理是揭示的是直角三角形的三边之间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理。 2. 应用勾股定理时，要分清直角边与斜边，尤其在应用时斜边只能是C，若b为斜边，则关系式为a2+c2=b2，若a为斜边，则 关系式为b2+c2=a2. 3. 利用勾股定理时，若不确定那条边是斜边，则要分类讨论，写出所有可能，以免漏解或错解。 知识点2勾股定理的证明 1. 常用证法 通过拼图构造特殊图形，并利用拼图中各部分面积之间的关系来验证。这种方法以数形转换为指导思想，图形接补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的。 2. 著名证法 赵爽“勾股圆方图”、刘徽“青朱出入图”、加菲尔德拼图、毕达哥拉斯拼图、欧几里得证法等...... 名师点拨 1. 勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用两种不同的方法计算出的面积相等。 2. 勾股定理的验证是将“形”的问题转化成“数”的问题来解决的，体现了数形结合思想。 3. 图形通过切割、拼接后只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变。 知识点3勾股定理的应用 勾股定理应用的常见模型 （1） 几何图形中的应用 ① 已知直角三角形的任意两边求第三边 ② 已知直角三角形的任意一边及与另两边的关系，求未知两边 ③ 证明含有平方关系的几何问题 （2）实际问题中的应用 ① 最短路径问题 ②可抽象出直角三角形模型的其他实际问题 名师点拨 应用勾股定理解决实际问题的一般步骤 （1） 将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形 （2） 分析图形，明确已知条件及结论 （3） 利用勾股定理解答，得到数学问题的结论 （4） 结合所求，写出实际问题的答案。 2、 易错点点拨 易错点1 勾股定理 例1-1．已知在中，，，求的长. 易错点拨 已知直角三角形的两边求第三边时，必须先明确哪条边是斜边，哪条边是直角边，然后决定用勾股定理原式还是变式，若没有明确说明，则分类讨论。 变式训练1 1．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________. 2．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为______. 易错点2 勾股定理的证明 例2-1．勾股定理的发现可以称为数学史上的里程碑，人们也对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．我们知道，利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理．如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，连接DC，∠ACD=∠BCD=45°．设BC=a,AC=b,AB=c,请利用下面的图形验证勾股定理．易错点拨 一般情况下，勾股定理的证明都是利用图形面积相等进行证明的。 各部分面积之和等于总面积。 变式训练2 1．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两条直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为c cm,请解答： （1）图2中间小正方形的周长 _____，大正方形的边长为 _____． （2）用两种方法表示图2大正方形的面积．（用含a,b,c） ①S=_____； ②S=_____； （3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式 _____． （4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题： 已知直角三角形的两条直角边长分为是a=8，b=6，求斜边c的值． 2．到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC=9，BC=5，则四边形ACBD的面积为 _____． 3．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为 _____． 易错点3 勾股定理的应用 例3-1．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架 AC=8，AB=6，两轮中心的距离BC=10，滚轮半径r=2． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13，AE=5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D