专题9.1 不等式及其性质（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题9.1 不等式及其性质（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【知识点二】不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【知识点三】不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 【考点目录】 【考点1】不等式的概念； 【考点2】不等式的解及解集； 【考点3】不等式的基本性质; 【考点4】不等式基本性质的应用. 【考点1】不等式的概念； 【例1】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）52； （7）． 【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 解：等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7）， 既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【点拨】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键． 【变式1】把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，列出不等式正确的是（    ） A．9x﹣7＜11x B．7x+9＜11x C．9x+7＜11x D．7x﹣9＜11x 【答案】C 【分析】设有x名同学，根据题意列出不等式解答即可． 解：设有x名同学，根据题意可得：9x+7＜11x， 故选：C． 【点拨】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系． 【变式2】“的加上3大于的5倍”用不等式表示为 . 【答案】 【分析】根据题目中运算的先后顺序和数量关系用大于号把代数式连接起来即可. 解：由题意得 故答案为. 【点拨】首先读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和题目中的数量关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 【考点2】不等式的解及解集； 【例2】已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点拨】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 【变式1】2．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 【变式2】对于一个数，我们用表示小于的最大整数 ，例如：，，如果，则的取值范围为 ． 【答案】﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4 【分析】根据的定义和绝对值的意义分两种情况列出关于x的不等式，解不等式即可． 解：当x＜0时， ∵， ∴x＞﹣3 ∴﹣3＜x≤﹣2； 当x＞0时， ∵， ∴x＞3， ∴3＜x≤4， 综上所述，x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2或3＜