第02讲 实际问题与二元一次方程组和三元一次方程组的解法（重难点突破）- 【冲刺满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

第02讲 实际问题与二元一次方程组 和三元一次方程组的解法（重难点突破） 【知识点一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤】 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； ②设：设未知数（一般求什么，就设什么）； ③找：找出应用题中的相等关系； ④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组； ⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值； ⑥答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）． 说明：①列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的几个相等关系，正确地列出方程组． ②设未知数时可直接设未知数，也可间接设未知数． ③一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． ④“审”和“找”两步可在草稿纸上进行，书面上主要写“设”“列”“解”和“答”四个步骤． ⑤要根据应用题的实际意义检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去． ⑥“设”“答”两步都要写清单位名称． ⑦在列方程组时，要注意等号左、右两边单位的统一． 【知识点二、列二元一次方程组应用题的常见类型的基本关系式】 （1）和差倍分问题 较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量． （2）产品配套问题 加工总量成比例． （3）速度问题 路程=速度×时间 （4）航速问题 ①顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速； ②逆流（风）速度=静水（无风）中的速度-水（风）速． （5）工程问题 工作量=工作效率×工作时间． （6）增长率问题 原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量． （7）浓度问题 溶液质量×浓度=溶质质量． （8）银行利率问题 免税利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数-本金×利率×期数×税率． （9）利润问题 利润=售价-进价，利润率=×100%． （10）盈亏问题 解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量． （11）数字问题 解这类问题，要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及表示． （12）几何问题 解这类问题要准确掌握有关几何图形的性质和周长、面积等计算公式． （13）年龄问题 解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等这一特征． 【知识点三、三元一次方程组的概念】 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【知识点四、三元一次方程组的解法】 （Ⅰ）用代入消元法解三元一次方程组的步骤： ①利用代人法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是所求三元一次方程组的解． （Ⅱ）用加减消元法解三元一次方程组的步骤： ①利用加减法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是所求的三元一次方程组的解． 题型一 二元一次方程组错解复原问题 1、甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（    ） A．1 B． C．10 D． 【变式训练1-1】、已知关于x、y的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、解方程组时，一学生把c看错而得而得正确的解是，那么a、b、c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 题型二 方案问题 2、李老师准备用40元钱全部购买A，B两种型号的签字笔（两种型号的签字笔都买），A型签字笔每支5元，B型签字笔每支2元，则李老师的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式训练2-1】、某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（    ） A．6吨 B．5吨 C．4吨 D．3吨 【变式训练2-2】、五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 题型三 行程问题 3、“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（    ） A．30 B．40 C．50