第02讲 一次函数（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

第02讲 一次函数 【知识点一、正比例函数】 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 【知识点二、一次函数】 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 【知识点三、一次函数的平移】 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 【知识点四、用待定系数法确定一次函数的解析式】 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 【知识点五、一次函数与方程、不等式的关系】 （1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． （2）①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围. ②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围． （3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y． 【知识点六、运用一次函数选择最佳方案】 所谓最佳方案是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，要求你利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案，此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起．解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为函数模型，运用一次函数选择最佳方案的步骤： （1）从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）； （2）列出不等式（方程)，求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案． 题型一 正比例函数的定义 1．下列函数中是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、下列式子中，能表示两个变量y与x是正比例函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、已知是正比例函数，则a的值是（    ） A． B．4 C． D．9 题型二 正比例函数的图像 2．正比例函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【变式训练2-1】、已知点在正比例函数的图象上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、下列各选项是函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 题型三 正比例函数的性质 3