第4章 第4讲 第3课时 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

金瓢放是·至真至城 =SICE2000- 第四章 导数及其应用 第4讲 导数与函数的综合 应用 第3课时 利用导数研究函数的 零点问题 目录 ●】 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO ● 课时作业 KE SHI ZUO YE 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO ●●● 考向大) 判断函数零点或方程根的个数 例1 (2022新高考I卷改编)已知函数fx)=e-x,g(x)=x-lnx. (I)判断直线y=b与曲线y=fx)和y=g)的交点分别有几个； (2)证明：曲线y=fx)和y=g(x)有且只有一个公共点； (3)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=fx)和y=g(x)共有三个 不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 目录 考向一 考向二 考向三 解(1)设Sx)=e-x-b,S'x)=e-1, 当x<0时，S'c)0,当x>0时，S'(x)>0, 故Sx)在(-∞，0)上为减函数，在(0，+∞)上为增函数， 所以Sx)min=S(0)=1-b. 当b<1时，Sx)mim=1-b>0,Sx)无零点； 当b=1时，Sx)min=1-b=0,Sx)有1个零点； 当b>1时，Sx)min=1-b<0, 而S(-b)=e0,Sb)=e-2b, 目录 考向一 考向二 考向三 解 设u(b)=e°-2b,则当b>1时，u'(b)=e°-2>0， 故u(b)在(1，+)上为增函数，故u(b)>u(1)=e-2>0, 故Sb)>0,故Sx)=e-x-b有两个不同的零点. x-1 Tx)=x-Inx-b,T'()=x, 当0<x<1时，T'(x)<0,当x>1时，T'x)>0, 故Tx)在(0,1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数， 所以Tx)mim=T(1)=1-b. 目录 考向一 考向二 考向三 解 当b<1时，Tx)min=1-b>0,Tx)无零点； 当b=1时，Tx)min=1-b=0,Tx)有1个零点； 当b>1时，Tx)mim=1-b<0, 而Te=e>0,T(e=e”-2b>0, 所以Tx)=x-lnx-b有两个不同的零点 综上可知，当b1时，直线y=b与曲线y=fx)和y=gx)的交点个 数都是0； 目录 考向一 考向二 考向三 解 当b=1时，直线y=b与曲线y=fx)和y=gx)的交点个数都是1； 当b>1时，直线y=b与曲线y=f(x)和y=gx)的交点个数都是2. (2)证明：由fx)=gx)得e-x=x-lnx,即e+lnx-2xr=0, 设)=e+nx-2,其中x0,故M'6)=e+-2, 设s(x)=e-x-1,则当x>0时，s'x)=e-1>0, 故s(x)在(0，+o)上为增函数， 故s(x>s(0)=0,即e>x+1, 目录 考向一 考向二 考向三 解 所以h'Px+-1≥2-1>0， 所以h(x)在(0，+∞)上为增函数， 而0=e-20,h8=e-3-3e-3-2<0, 故h)在(0，+)上有且只有一个零点x0,且。<x0<1, 当0<x<xo时，hx)<0,即e-x<x-lnx,即fx)gx), 当x>xo时，hx)>0,即e-x>x-lnx,即fx)>gx), 所以曲线y=fx)和y=gx)有且只有一个公共点， 目录 考向一 考向二 考向三 解 (3)证明：由(2)知，若存在直线y=b与曲线y= y=f(x) =g(x x),y=gx)有三个不同的交点， 则b=fxo)=gxo)P1, 此时e-x=b有两个不同的解x1,xo(c1<0<x0),x -nx=b有两个不同的解xo,x2(0<xo<1<x2), e-x1=b,et-xo=b,x2-Inx2-b=0,xo-Inxo-b=0, 所以x2-b=nx2,即e2-b=x2,即e2-b-x2-b)-b=0, 目录 考向一 考向二 考向三 解