第4章 第4讲 第2课时 利用导数研究不等式的证明问题-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

金瓢放是·至真至城 =SICE2000- 第四章 导数及其应用 第4讲 导数与函数的综合 应用 第2课时 利用导数研究不等式 的证明问题 目录 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO ● 课时作业 KE SHI ZUO YE 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO ●●● 多角度探究突破 考向大) 单变量不等式的证明 角度 作差构造法 例1 (2023新课标I卷)已知函数fx)=a(e+a)-x. (1)讨论fx)的单调性； (2)证明：当a>0时，fx)>2na+2 目录 考向一 考向二 考向三 解(I)因为fx)=a(e+a)-x,定义域为R, 所以f'x)=ae-1. 当a≤0时，由于e>0,则ae'≤0，故f'x)=ae-1<0恒成立，所 以fx)在R上单调递减； 当a>0时，令f'x)=ae-1=0, 解得x=-lna, 当x<-lna时，f'(x)0, 目录 考向一 考向二 考向三 解 则fx)在(-∞，-lna)上单调递减， 当x>-lna时，f'(x)>0, 则fx)在(-lna,+o)上单调递增. 综上，当a≤0时，fx)在R上单调递减； 当a>0时，fx)在(-∞，-lna)上单调递减，在(-lna,+∞)上单调 递增. 目录 考向一 考向二 考向三 解 (2)证法一：由(1)得， f(x)min=f(-In a)=a(e-na+a)+Ina=1+a2+Ina, 要证fw>2ha+3,即证1+d2+lna>2na+, .3 即证d-}na>0恒成立。 令ga)=d2-3-lnaa>0. 则g@=2a-201 目录 考向一 考向二 考向三 解 令g@0则0s号 令gaP0,则心 所以@在0，上单调道液，在.+上单调递蜡 所以xom=受-个-号n子-n20,则goP0恒成立， 所以当a>0时，f)>2na+恒成立，证毕. 目录 考向一 考向二 考向三 解 证法二：令hx)=e-x-1,则h′(x)=e-1, 由于y=e在R上单调递增，所以h'(x)=e-1在R上单调递增， 又h'(0)=e°-1=0，所以当x<0时，h'(x)<0, 当x>0时，h'(x)>0, 所以hx)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)=0,则e≥x+1,当且仅当x=0时，等号成立. 目录 考向一 考向二 考向三 解 因为fx)=a(e+a)-x=ae+a2-x=e+na+a2-x≥x+lna+1+a 一X, 当且仅当x+lna=0,即x=-lna时，等号成立， 3 3 所以要证fxP2lna+2: 即证x+lna+1+a->2na+2,即证d 2-ln0恒成立. 以下同证法一 目录 考向一 考向二 考向三 解