第3章 第9讲 函数模型的应用-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第三章　函数与幂函数、指数函数、对数函数 第9讲　函数模型的应用 [课程标准]　 1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义． 目录 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 课时作业 KE SHI ZUO YE 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 目录 知识梳理 双基自测 * 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 目录 知识梳理 双基自测 单调递增 单调递增 单调递增 y轴 x轴 * 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 eq \x(\s\up1(01))_________ eq \x(\s\up1(02))_________ eq \x(\s\up1(03))_________ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与eq \x(\s\up1(04))____平行 随x的增大逐渐表现为与eq \x(\s\up1(05))____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 目录 知识梳理 双基自测 答案 * 1．(人教A必修第一册3.1.2练习T1改编)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 目录 知识梳理 双基自测 解析 * 解析　y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D. 目录 知识梳理 双基自测 答案 解析 * 2．(人教B必修第一册3－3B T2改编)在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D. 目录 知识梳理 双基自测 答案 解析 * 3．下列函数中，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(　　) A．y＝0.001ex B．y＝1000ln x C．y＝x1000 D．y＝1000·2x 解析　在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A. 目录 知识梳理 双基自测 答案 解析 * 4．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 解析　设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0<x<240，x∈N*)．令f(x)≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C. 目录 知识梳理 双基自测 答案 解析 * 5．(人教A必修第一册习题4.3 T8改编)若某地2023年的GDP比2013年翻一番，则此地GDP平均每年的增长率是________． 解析　设平均每年的增长率为x，所以(1＋x)10＝2，即1＋x＝2eq \s\up7(\f(1,10))，则x＝2eq \s\up7(\f(1,10))－1，所以平均每年的增长率应是2eq \s\up7(\f(1,10))－1. 2eq \s\up7(\f(1,10))－1 目录 知识梳理 双基自测 600 答案 * 6．(人教A必修第一册习题4.4 T5改编)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000米，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为x，研究中发现v＝0.5log3eq \f(x,100)(x≥100)，在逆流而上的过程中，某两条鲑鱼的游速v1，v2满足v1＋v2＝4v1v2，则这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为________个单位． 目录 知识梳理 双基自测 解析 * 解析　由v＝0.5log3eq \f(x,100)(x≥100)，可得x1＝100×32v1，x2＝100×32v2，由v1＋v2＝4v1v2可得eq \f(1,v1)＋eq \f(1,v2)＝4，v1＋v2＝eq \f(1,4)(v1＋v2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,v1)＋\f(1,v2)))＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v2,v1)＋\f(v1,v2)＋2))≥eq \f(1,4)×(2＋2)＝1，当且仅当v1＝v2＝0.5时取等号，所以x1＋x2＝100×32v1＋100×32v2≥100×2eq \r(32（v1＋v2）)≥200×3＝600，当且仅当v1＝v2＝0.5时取等号，所以这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为600个单位． 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 目录 考向一 考向二 考向三 * 考向一　利用函数图象刻画实际问题 例1　(多选)(2023·葫芦岛一模)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 根据图1，以下四个说法中正确的是(　　) A．在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加 B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6 km C．大约在第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶 D．在图2的四条曲线(注：S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由图1知，在2.6 km到2.8 km之间，图象上升，故在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为1.8 km到2.4 km之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6 km，故B不正确；最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始，故C不正确；由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确．故选AD. 目录 考向一 考向二 考向三 * 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由甲、乙两图知，每个进水口的进水速度为1，每个出水口的出水速度为2，所以0点到3点只进水不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 考向二　已知函数模型解决实际问题 例2　(2023·济南模拟)生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减(称为衰减率)，C与死亡年数t之间的函数关系式为C＝0.5eq \f(t,k)(k为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于(　　) 参考数据：log20.85≈－0.23. 参考时间轴： A．战国 B．汉 C．唐 D．宋 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　当t＝5730时，C＝eq \f(1,2)，故0.5＝0.5eq \s\up7(\f(5730,k))，解得k＝5730，所以C＝0.5eq \s\up7(\f(t,5730))，由题意得0.5eq \s\up7(\f(t,5730))＝0.85，eq \f(t,5730)＝－log20.85≈0.23，解得t≈1318，而2022－1318＝704，可推断该文物属于唐．故选C. 目录 考向一 考向二 考向三 * 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * f(1,3)) INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·海南文昌中学模拟)荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法．在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg Xn＝nlg (1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为(参考数据：10≈2.154，10eq \s\up7(\f(1,4))≈1.778)(　　) A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4% 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由题意，可得lg (100X0)＝6lg (1＋p)＋lg X0，即lg 102＋lg X0＝6lg (1＋p)＋lg X0，所以2＋lg X0＝6lg (1＋p)＋lg X0，可得1＋p＝10eq \s\up7(\f(1,3))≈2.154，解得p≈1.154＝115.4%.故选C. 目录 考向一 考向二 考向三 * 考向三　构建函数模型解决实际问题 例3　(2024·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系； (2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 目录 考向一 考向二 考向三 解 * 解　(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x). 由已知得f(1)＝k1＝eq \f(1,8)，g(1)＝k2＝eq \f(1,2)， 所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2) eq \r(x)(x≥0)． (2)设投资股票等风险型产品x万元，则投资债券等稳健型产品(20－x)万元． 依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝eq \f(20－x,8)＋eq \f(1,2) eq \r(x)＝eq \f(－x＋4\r(x)＋20,8)(0≤x≤20)． 所以当eq \r(x)＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元． 故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元时获得最大收益，为3万元． 目录 考向一 考向二 考向三 * (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * A．82 B．84 C．86 D．88 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　设大约经过x天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，可得1.2x＝1.1x×1500，两边取对数得xlg 1.2＝xlg 1.1＋lg 1500，x(lg 12－1)＝x(lg 11－1)＋lg 15＋2，x＝eq \f(lg 15＋2,lg 12－lg 11).又因为lg 15＝lg (3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋1－lg 2≈0.477＋1－0.301＝1.176，lg 12＝lg 3＋lg 4＝lg 3＋2lg 2≈0.477＋0.602＝1.079，所以x＝eq \f(lg 15＋2,lg 12－lg 11)≈eq \f(1.176＋2,1.079－1.041)＝eq \f(3.176,0.038)≈84.故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 5 答案 解析 * 2.(2024·福州八中月考)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________． 解析　根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∴年平均利润eq \f(y,x)＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，∵x＋eq \f(25,x)≥2eq \r(x·\f(25,x))＝10，当且仅当x＝5时等号成立，∴为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5. 课时作业 KE SHI ZUO YE 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 一、单项选择题 1．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　设仓库建在离车站x千米处，则y1＝eq \f(k1,x)，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和为y＝eq \f(20,x)＋0.8x≥8，当且仅当x＝5时，等号成立． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 2．(2023·襄阳四模)双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n＝logeq \s\do7(\f(3,2))2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A时，放电时间为(　　) A．28 h B．28.5 h C．29 h D．29.5 h 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　根据题意可得C＝57·10n，则当I＝15 A时，57·10n＝15n·t，所以t＝57·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n)＝57×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))logeq \s\do7(\f(3,2))2＝57×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))logeq \s\do7(\f(2,3))eq \f(1,2)＝57×eq \f(1,2)＝28.5 h，即当放电电流I＝15 A时，放电时间为28.5 h．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 3．(2023·德州三模)2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0Deq \s\up7(\f(G,G0))，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3010)(　　) A．16 B．17 C．18 D．19 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　由题意知，初始学习率L0＝0.8，衰减速度G0＝12，所以L＝0.8Deq \s\up7(\f(G,12))，因为当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5，可得0.5＝0.8Deq \s\up7(\f(12,12))，解得D＝eq \f(5,8)，所以L＝0.8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))eq \s\up7(\f(G,12))，令0.8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))eq \s\up7(\f(G,12))＜0.4，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))eq \s\up7(\f(G,12))＜eq \f(1,2)，则eq \f(G,12)lg eq \f(5,8)＜lg eq \f(1,2)，可得G＞eq \f(12lg \f(1,2),lg \f(5,8))＝eq \f(－12lg 2,lg 5－3lg 2)≈eq \f(－12×0.3010,（1－0.3010）－3×0.3010)≈17.7，所以所需的训练迭代轮数至少为18.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 4．(2023·娄底模拟)化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs－Helmholtz方程和Van't Hoff方程，可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值)，ΔS为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2，则ln eq \f(K1,K2)＝(　　) A.eq \f(ΔH（T1－T2）,RT1T2) B.eq \f(ΔH（T2－T1）,RT1T2) C.eq \f(ΔS（T1－T2）,R) D.eq \f(ΔS（T2－T1）,R) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ΔH－T1ΔS＝－RT1ln K1，,ΔH－T2ΔS＝－RT2ln K2，))则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln K1＝\f(T1ΔS－ΔH,RT1)，,ln K2＝\f(T2ΔS－ΔH,RT2)，))则有ln eq \f(K1,K2)＝ln K1－ln K2＝eq \f(T1ΔS－ΔH,RT1)－eq \f(T2ΔS－ΔH,RT2)＝eq \f(ΔH（T1－T2）,RT1T2).故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 二、多项选择题 5.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位：天)之间的函数关系f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(7,20)x＋1，0<x≤1，,\f(1,5)＋\f(9,20)x－\s\up7(\f(1,2))，1<x≤30.))则下列说法正确的是(　　) A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1<x≤30时，f(x)＝eq \f(1,5)＋eq \f(9,20)x－eq \s\up7(\f(1,2))，则f(9)＝eq \f(1,5)＋eq \f(9,20)×9－eq \f(1,2)＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26)＝eq \f(1,5)＋eq \f(9,20)×26－eq \s\up7(\f(1,2))>eq \f(1,5)，故D错误． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 6．(2023·绍兴模拟)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则(　　) A．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势 B．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化 C．当k＝eq \f(1,3)，Pn≥2P0时，n的最小值为3 D．当k＝－eq \f(1,3)，Pn≤eq \f(1,2)P0时，n的最小值为3 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n是关于n的减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；当k＝eq \f(1,3)，Pn＝P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq \s\up12(n)≥2P0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq \s\up12(n)≥2，所以n≥logeq \s\do7(\f(4,3))2(n∈N)，logeq \s\do7(\f(4,3))2∈(2，3)，所以n的最小值为3，故C正确；当k＝－eq \f(1,3)，Pn＝P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,2)P0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,2)，所以n≥logeq \s\do7(\f(3,2))eq \f(1,2)(n∈N)，logeq \s\do7(\f(2,3))eq \f(1,2)＝logeq \s\do7(\f(3,2))2∈(1，2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 120 80 答案 * 三、填空题 7．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是________，最低种植成本是________元/100 kg. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（60－120）2＋m＝116，,a（100－120）2＋m＝84，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 答案 * 8．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为________． (参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln 0.90<ln 0.6，即n－1>eq \f(ln 0.6,ln 0.9)≈eq \f(－0.511,－0.105)≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * 四、解答题 9．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2＋80x，0＜x≤40，,201x＋\f(3600,x)－2100，40<x≤100，))由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　(1)由题意可得，当0<x≤40时， W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300； 当40<x≤100时， W(x)＝200x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(201x＋\f(3600,x)－2100))－300＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800， 所以W(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋120x－300，0<x≤40，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，40<x≤100.)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (2)若0<x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1500， 所以当x＝30时，W(x)max＝1500. 若40<x≤100， W(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800≤－2eq \r(x·\f(3600,x))＋1800＝－120＋1800＝1680， 当且仅当x＝eq \f(3600,x)，即x＝60时，W(x)max＝1680. 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * 10．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率(利润/成本)低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y(单位：百万元)与年投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据： 年份 2019 2020 2021 2022 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下三个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； (2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　(1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝3k＋b，,2＝5k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，)) ∴y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2). 当x＝9时，y＝4，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝ab3，,2＝ab5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),4)，,b＝\r(2)，))∴y＝eq \f(\r(2),4)·(eq \r(2))x＝2eq \f(x－3,2). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 当x＝9时，y＝2eq \f(9－3,2)＝8，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝loga（3＋b），,2＝loga（5＋b），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，)) ∴y＝log2(x－1)． 当x＝9时，y＝log28＝3； 当x＝17时，y＝log216＝4. 故可用③来描述x，y之间的关系． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (2)令log2(x－1)＝6，则x＝65. ∵年利润率为eq \f(6,65)<10%， ∴该企业要考虑转型． 　　　　　　　　　　　　　 R $$