第3章 第8讲 函数零点与方程-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第三章　函数与幂函数、指数函数、对数函数 第8讲　函数零点与方程 [课程标准]1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 目录 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 课时作业 KE SHI ZUO YE 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 f(x)＝0 x轴 零点 * 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，把使eq \x(\s\up1(01))_______的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与eq \x(\s\up1(02))_______有公共点⇔函数y＝f(x)有eq \x(\s\up1(03))_______． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 c * (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有eq \x(\s\up1(04))___________，那么，函数y＝f(x)在区间eq \x(\s\up1(05))____________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得eq \x(\s\up1(06))_________，这个eq \x(\s\up1(07))____也就是方程f(x)＝0的解． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 f(a)f(b)<0 * 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且eq \x(\s\up1(08))____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * 有关函数零点的结论 (1)若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * (5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 * 1．(人教B必修第一册习题3－2B T5改编)函数y＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，＋∞) 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析 * 解析　y＝f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的定义域为(0，＋∞)，因为y＝ln x与y＝－eq \f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x－eq \f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 1－2＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－eq \f(2,e)＝1－eq \f(2,e)>0，所以f(2)f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点．故选C. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 解析 * 2．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　) A．2 B．0和2 C．0 D．－2和0 解析　由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2.故选B. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 解析 * 3．(2023·海口第二次联考)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象交点的个数，作图容易判断，两图象有两个交点，故原函数有2个零点． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 0或1 解析 答案 * 　解析　当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上，实数a的值为0或1. 4．(人教A必修第一册习题4.5 T13改编)若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为________． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析 答案 * 解析　要求函数y＝f(x)－1的零点，则令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①当x≤0时，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②当x＞0时，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝eq \r(2)(负值舍去)．综上可知，函数y＝f(x)－1的零点是0和eq \r(2). 5．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,x2－1，x＞0，))则函数y＝f(x)－1的零点是________． 0和eq \r(2) 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 考向一　函数零点所在区间的判断 例1　(1)(2023·梅州二模)用二分法求方程log4x－eq \f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　令f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)，因为函数y＝log4x，y＝－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－eq \f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)>0，所以函数f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－eq \f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． 目录 考向一 考向二 考向三 * (1)定义法 利用函数零点存在定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． 目录 考向一 考向二 考向三 * (2)解方程法 当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上． (3)数形结合法 画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (x) 　1.已知x0是函数f(x)＝＋log2(x＋1)－4的零点，则(x0－1)(x0－2)(x0－3)·(x0－4)的值(　　) A．为正数 B．为负数 C．等于0 D．无法确定正负 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由题意可知f(x)单调递增且f(3)＝eq \r(3)＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，则x0∈(3，4)，所以x0－1>0，x0－2>0，x0－3>0，x0－4<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 2 解析 答案 * 2．已知函数f(x)＝20×3－x－x的零点x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________． 解析　因为函数y＝3－x为R上的减函数，故函数f(x)＝20×3－x－x为R上的减函数，又f(2)＝20×3－2－2＝eq \f(20,9)－2＝eq \f(2,9)>0，f(3)＝20×3－3－3＝eq \f(20,27)－3＝－eq \f(61,27)<0，故f(x)＝20×3－x－x在(2，3)上有唯一零点，结合题意可知k＝2. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 考向二　函数零点个数的判定 例2　(1)(2024·潍坊模拟)函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　求函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数，转化为求方程(x2－x)ln |2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数．由(x2－x)ln |2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln |2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3.故选A. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (2)(2023·长郡中学模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln x－\f(1,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))则函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　令t＝f(x)＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln x－\f(1,x)＋1，x>0，,（x＋1）2，x≤0.))①当t＞0时， f(t)＝ln t－eq \f(1,t)，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝ －1＜0，f(2)＝ln 2－eq \f(1,2)>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上所述，函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数为5.故选D. 目录 考向一 考向二 考向三 * (1)解方程法 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)函数零点存在定理法 利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所满足的条件． 目录 考向一 考向二 考向三 * (3)数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 　1.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)，作出 y＝|log0.5x|和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)的图象，如图所示，则两个函数 图象有2个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点． 目录 考向一 考向二 考向三 6 解析 答案 * 2．函数f(x)＝eq \r(36－x2)·cosx的零点个数为________． 解析　令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6，6]．令f(x)＝0，得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x为－eq \f(3π,2)，－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,2).故f(x)共有6个零点． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 多角度探究突破 考向三　函数零点的应用 角度 　利用零点比较大小 例3　(1)设函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln x－eq \f(1,x).若f(x1)＝g(x2)＝0，则(　　) A．0<g(x1)<f(x2) B．g(x1)<0<f(x2) C．f(x2)<0<g(x1) D．f(x2)<g(x1)<0 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　∵f(x)＝ex－1＋4x－4为增函数，g(x)＝ln x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝eq \f(1,e)－4<0，f(1)＝1>0，g(1)＝－1<0，g(2)＝ln 2－eq \f(1,2)>0，又f(x1)＝g(x2)＝0，∴0<x1<1，1<x2<2，∴g(x1)<0<f(x2)．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (2)(多选)(2023·苏北七市三模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0 C．ex1＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2＜1 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　∵函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，∴函数y＝－x与函数y＝ex图象的交点的横坐标为x1，函数y＝－x与函数y＝ln x图象的交点的横坐标为x2，作函数y＝－x，y＝ex，y＝ln x的图象如图，故点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，∵函数y＝ex与函数y＝ln x的图象关于直线y＝x对称，函数y＝－x的图象关于直线y＝x对称，∴点A，B关于直线y＝x对称，又点A，B在直线y＝－x上，∴点A，B关于原点对称，∴x1＋x2＝0，故A错误；易知x1x2＜0，故B正确；∵ex1＝－x1，ln x2＝－x2，x1＋x2＝0，∴ex1＋ln x2＝0，故C正确；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，∴(x1＋1)·(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，故D正确．故选BCD. 目录 考向一 考向二 考向三 * 在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (2a－1,a－1) 　(2024·河南重点中学联考)已知a，b，c均大于1，满足＝2＋log2a，eq \f(3b－2,b－1)＝3＋log3b，eq \f(4c－3,c－1)＝4＋log4c，则下列不等式成立的是(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．c<a<b 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　∵eq \f(2a－1,a－1)＝2＋log2a⇒eq \f(1,a－1)＝log2a，eq \f(3b－2,b－1)＝3＋log3b⇒eq \f(1,b－1)＝log3b，eq \f(4c－3,c－1)＝4＋log4c⇒eq \f(1,c－1)＝log4c，∴考虑y＝eq \f(1,x－1)和y＝logmx的图象相交，根据图象可知a<b<c.故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 角度 例4　(1)“a≤0”是“函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln x，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一个零点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　当x>0时，令f(x)＝0，则ln x＝0，∴x＝1，∴当x>0时，f(x)有一个零点为1，∵函数f(x)只有一个零点，∴当x≤0时，f(x)＝－2x＋a无零点，即a>2x或a<2x，∵当x≤0时，2x∈(0，1]，∴a>1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln x，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一个零点”的充分不必要条件．故选A. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (2)(多选)(2023·中山模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x<1，,－4x2＋16x－13，x≥1，))函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是(　　) A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2) B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1) C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3＋x4＝4 D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3x4的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(7,2))) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f(x)的图象如图，由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)∪{0}，故A错误；若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)，故B正确；若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，此时x3，x4关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，故C正确；由C项可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－xeq \o\al(2,4)＋4x4，由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围是(0，1)，故0<－4xeq \o\al(2,4)＋16x4－13<1，所以eq \f(13,4)<－xeq \o\al(2,4)＋4x4<eq \f(7,2)，故D正确．故选BCD. 目录 考向一 考向二 考向三 * 已知函数零点求参数范围的常用方法 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * \lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x≤0，,|lg x|，x>0，)) INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A．(0，1] B．[0，1] C．(0，1) D．(1，＋∞) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．结合图象可知，实数b的取值范围为(0，1]．故选A. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 2．(2023·郑州质检)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设x∈R，则y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，若方 程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为________． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　根据题意可得函数y＝{x}在x轴正半轴的 部分图象如图所示，函数y＝1－kx的图象为过定点 P(0，1)的直线，所以要使方程{x}＝1－kx有且仅有4 个实数根，则直线y＝1－kx应在PA，PB之间或恰好在PA处，所以－eq \f(1,3)≤－k<－eq \f(1,4)，即正实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))). 课时作业 KE SHI ZUO YE 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 一、单项选择题 1．(2023·焦作一模)设函数f(x)＝2x＋eq \f(x,3)的零点为x0，则x0∈(　　) A．(－4，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，4) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　因为y＝2x与y＝eq \f(x,3)在R上均为增函数，所以f(x)＝2x＋eq \f(x,3)在R上为增函数，又因为f(0)＝1＞0，f(－1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)>0，f(－2)＝eq \f(1,4)－eq \f(2,3)＝－eq \f(5,12)<0，因为f(－2)f(－1)<0，所以f(x)＝2x＋eq \f(x,3)的零点在区间(－2，－1)内．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 2．(2024·鹰潭模拟)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(－x)－1，x≤0，,log3x－2，x>0))的零点是(　　) A．(－1，0)，(9，0) B．－1，9 C．(9，0) D．9 解析　当x≤0时，f(x)＝eq \r(－x)－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝log3x－2＝0，解得x＝9，所以函数f(x)的零点为－1，9.故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 3．(2024·长郡中学月考)设函数f(x)＝x＋log2x－m，则“函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零点”是“m∈(1，6)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　函数f(x)＝x＋log2x－m在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零点，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)－m＜0，f(4)＝6－m＞0，解得－eq \f(1,2)＜m＜6，故“函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零点”是“m∈(1，6)”的必要不充分条件．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 4．(2024·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一 直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的 图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点 个数为2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(－1，0) D．[－1，0) 解析　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝eq \f(1,3).因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 6．(2023·海南华侨中学一模)关于函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－a，0≤x<3.5，,b－x，x≥3.5，))其中a，b∈R，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点； 丙：该函数的所有零点之积为0； 丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　当x∈[3.5，＋∞)时，f(x)＝b－x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点，即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．由所有零点之积为0，结合分段函数的性质知，必有一个零点为0，则f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1.①若甲正确，则f(5)＝b－5＝0，则b＝5，可得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－1，0≤x<3.5，,5－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有两个不等的实根，故丁正确；②若乙正确，则f(4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，可得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－1，0≤x<3.5，,4－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，解得x＝2，方程f(x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．综上，甲正确，乙错误．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 7．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logeq \s\do7(\f(1,2))x，h(x)＝log2x－eq \r(x)(0<x<10)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(　　) A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3 C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logeq \s\do7(\f(1,2))x＝0，h(x)＝log2x－eq \r(x)＝0，得2x＝－x，x＝logeq \s\do7(\f(1,2))x，log2x＝eq \r(x)，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象，y＝x与y＝logeq \s\do7(\f(1,2))x的图象，y＝log2x与y＝eq \r(x)的图象，由图可知，－1<x1<0，0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 8．(2023·天津静海区模拟)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　) A．9 B．10 C．11 D．18 解析　F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数就是y＝f(x)，y＝|lg x|图象的交点个数，作出y＝f(x)，y＝|lg x|的图象，如图所示，由图可得有10个交点，故F(x)＝f(x)－|lg x|有10个零点．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 二、多项选择题 9．某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084 f(2.75)≈0．512 f(2.625)≈0．215 f(2.5625)≈0．066 则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　) A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的解在(2.5，2.5625)内，又|2.5625－2.5|＝0.0625<0.1，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合．故选AB. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 10．(2024·海南川绵中学月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－1，x≤1，,|2－x|，x＞1)) D．f(x)＝eq \f(1,x)－x 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　根据定义可知，若f(x)为“不动点”函数，则f(x)＝x有解．对于A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此时无解，故f(x)不是“不动点”函数；对于B，令x2－x－3＝x，得x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－eq \f(1,2)或x＝1，所以f(x)是“不动点”函数；对于D，令eq \f(1,x)－x＝x，得x＝±eq \f(\r(2),2)，所以f(x)是“不动点”函数．故选BCD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 11．(2024·江西重点中学联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x<0，,2x－2，x≥0，))若关于x的方程[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6个不同的实根，则实数a的可能取值是(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D．2 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，作出f(x)的图象，如图所示．[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝[f(x)－a][f(x)－a－1]＝0，即f(x)＝a与f(x)＝a＋1共有6个不等实根，由图可知，若使f(x)＝a与f(x)＝a＋1共有6个不等实根，只需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<2，,0<a＋1<2，))即0<a<1.故选BC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 (0，1) 答案 * 三、填空题 12．(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,x3，x<1，))若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　解方程f(x0)＝－1，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0≥1，,\f(1,x0)＝－1))或3,0)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0<1，,x＝－1，)) 解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，如图，作出y＝f(x)与y＝k的图象，观察图象可知，当0<k<1时，y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点．即实数k的取值范围为(0，1)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [4，9) 答案 解析 * 13．(2024·东城区校级模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0≤x≤a，,log3x，x>a，))其中a>0. (1)若a＝3，则f(f(9))＝________； (2)若函数y＝f(x)－2有两个零点，则a的取值范围是________． eq \r(2)　 解析　(1)当a＝3时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0≤x≤3，,log3x，x>3，))则f(9)＝log39＝2，∴f(f(9))＝f(2)＝eq \r(2). (2)分别画出y＝f(x)与y＝2的图象，如图所示，函数y＝f(x)－2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 14．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,x＋1)－2，x∈[0，1），,1－|x－3|，x∈[1，＋∞），))则函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,π)的所有零点之和为 _____________． eq \f(1,1－2π) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由题意知，当x<0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,x－1)＋2，x∈（－1，0），,|x＋3|－1，x∈（－∞，－1]，))作出函数f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,π)的交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令eq \f(2,x－1)＋2＝eq \f(1,π)，解得x3＝eq \f(1,1－2π)，所以函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,π)的所有零点之和为eq \f(1,1－2π). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 * 四、解答题 15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－eq \f(a,2)，3a>2c>2b. 求证：(1)a>0且－3<eq \f(b,a)<－eq \f(3,4)； (2)函数f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 * 证明　(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－eq \f(a,2)， ∴c＝－eq \f(3,2)a－b.∵3a>2c＝－3a－2b， ∴3a>－b.∵2c>2b，∴－3a>4b. 若a>0，则－3<eq \f(b,a)<－eq \f(3,4)； 若a＝0，则0>－b，0>b，不成立； 若a<0，则eq \f(b,a)<－3，eq \f(b,a)>－eq \f(3,4)，不成立． 综上，a>0且－3<eq \f(b,a)<－eq \f(3,4). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 * (2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－eq \f(a,2). 当c>0时，f(0)>0，f(1)<0， ∴f(x)在(0，1)内至少有一个零点； 当c＝0时，f(0)＝0，f(1)<0，f(2)＝4a＋2b＝a>0， ∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点； 当c<0时，f(0)<0，f(1)<0，b＝－eq \f(3,2)a－c， f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c>0， ∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 综上，函数f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 * 16．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1，－1≤x<0，,log2（x＋1），0≤x<3，))对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5，3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 解　因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4. 由在区间[－5，3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m的图象在[－5，3]上有三个不同的交点． 在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5，3]上的图象，如图所示． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 由图可知eq \f(1－0,－1－1)≤m<eq \f(1－0,－5－1)， 即－eq \f(1,2)≤m<－eq \f(1,6). 所以实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6))). 　　　　　　　　　　　　　 R $$