第3章 第6讲 对数与对数函数-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第三章　函数与幂函数、指数函数、对数函数 第6讲　对数与对数函数 [课程标准]1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 目录 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 课时作业 KE SHI ZUO YE 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 x＝logaN logaM＋logaN logaM－logaN * 1．对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作eq \x(\s\up1(01))_____________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝eq \x(\s\up1(02))_____________； (2)logaeq \f(M,N)＝eq \x(\s\up1(03))_____________； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 y＝logax * 3．对数函数的定义 函数eq \x(\s\up1(04))_________________ (a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 (0，＋∞) (1，0) 增函数 减函数 * 4．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 eq \x(\s\up1(05))______________ 值域 R 定点 过点eq \x(\s\up1(06))______________ 单调性 eq \x(\s\up1(07))__________ eq \x(\s\up1(08))_______ 函数值正负 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 logax y＝x * 5.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝eq \x(\s\up1(09))_________ (a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线eq \x(\s\up1(10))_________对称． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * 1．对数的性质(a＞0，且a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝eq \f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即logab＝eq \f(1,logba)(a，b均大于0且不等于1)； (3)logab·logbc·logcd＝logad； (4)logambn＝eq \f(n,m)logab. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． * 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 解析 * 1．(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6) 解析　由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝eq \f(1,9).故选B. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 解析 * 2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq \f(1,2)，则下列判断正确的是　　(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 解析　a＝log52<log5eq \r(5)＝eq \f(1,2)＝log82eq \r(2)<log83＝b，即a<c<b.故选C. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 (－1，－2) 解析 答案 * 解析　由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象必过定点(－1，－2)． 3．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点________． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 1 解析 答案 * 解析　原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1. 4．(人教B必修第二册4.2.2练习B T3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析 答案 * 解析　由logeq \s\do7(\f(2,3))(2x－1)≥0得logeq \s\do7(\f(2,3))(2x－1)≥logeq \s\do7(\f(2,3))1，所以0<2x－1≤1，解得eq \f(1,2)<x≤1.故函数y＝eq \r(log\s\do7(\f(2,3))（2x－1）)的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 5．(人教A必修第一册习题4.4 T1(2)改编)函数y＝eq \r(log\s\do9(\f(2,3))（2x－1）)的定义域是________． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 考向一　对数的化简与求值 例1　(1)下列运算正确的是(　　) A．2logeq \s\do7(\f(1,5))10＋logeq \s\do7(\f(1,5))0.25＝2 B．log427×log258×log95＝eq \f(8,9) C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))－(log2eq \r(2))2＝－eq \f(5,4) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　对于A，2logeq \s\do7(\f(1,5))10＋logeq \s\do7(\f(1,5))0.25＝logeq \s\do7(\f(1,5))(102×0.25)＝logeq \s\do7(\f(1,5))52＝－2，A错误；对于B，log427×log258×log95＝eq \f(lg 33,lg 22)×eq \f(lg 23,lg 52)×eq \f(lg 5,lg 32)＝eq \f(3×3,2×2×2)＝eq \f(9,8)，B错误；对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误；对于D，log(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))－(log2eq \r(2))2＝－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(5,4)，D正确． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (2)(2024·银川模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x）（x≤1），,2x－1（x>1），))则f(1)＋f(log26)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　因为log26>1，所以f(1)＋f(log26)＝1＋log2(2－1)＋2log26－1＝1＋0＋2log23＝1＋3＝4.故选A. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (3)(多选)(2023·海南华侨中学模拟)已知a＝lg 2，b＝lg 3，则(　　) A．102a＋b＝7 B．2a＋b＝lg 12 C.eq \f(1,a＋2b)＝log1810 D．log365＝eq \f(1－a,2a＋2b) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　因为a＝lg 2，b＝lg 3，所以10a＝2，10b＝3，所以102a＋b＝(10a)2×10b＝4×3＝12，A错误；2a＋b＝lg 4＋lg 3＝lg 12，B正确；eq \f(1,a＋2b)＝eq \f(1,lg 2＋2lg 3)＝eq \f(1,lg 18)＝log1810，C正确；log365＝eq \f(lg 5,lg (4×9))＝eq \f(lg 5,2lg 2＋2lg 3)＝eq \f(1－a,2a＋2b)，D正确．故选BCD. 目录 考向一 考向二 考向三 对数运算的策略 * 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 1.(2023·衡水中学模拟)在某款计算器上计算logab时，需依次按下“log”“(”“a”“，”“b”“)”6个键．某同学使用该计算器计算logab(a>1，b>1)时，误将“log”“(”“b”“，”“a”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正确结果的eq \f(4,9)，则(　　) A．2a＝3b B．a3b2＝1 C．a2＝b3 D．a3＝b2 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由题意可知logba＝eq \f(4,9)logab，∴(logba)2＝eq \f(4,9)，又a>1，b>1，∴logba>0，logba＝eq \f(2,3)，∴a＝，即a3＝b2.故选D. 目录 考向一 考向二 考向三 2 答案 解析 * 2．(2024·广东重点中学联考)已知4a＝3b＝6，则eq \f(2a＋b,ab)＝________． 解析　由题意可得a＝log46，b＝log36，则eq \f(1,a)＝log64，eq \f(1,b)＝log63，故eq \f(2a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝log64＋2log63＝log64＋log69＝log636＝2. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 考向二　对数函数的图象及其应用 例2　(1)(2024·潍坊模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，因为f(x)＝ax－eq \f(1,ax)为减函数，所以0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，排除B，C，D，故选A. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (2)若方程4x＝logax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内有解，则实数a的取值范围为________． 解析　构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax.当a>1 时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的大致 图象，如图所示．可知，只需两图象在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交点即可，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2≥logaeq \f(1,2)，则0<a≤eq \f(\r(2),2)，所以实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))). eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) 目录 考向一 考向二 考向三 * (1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))) eq \s\up12(x)，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，由图象知x2<x1<x3. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 多角度探究突破 考向三　对数函数的性质及其应用 角度 　比较对数值的大小 例3　(1)(2024·安徽A10联盟模拟)设a＝，b＝log25，c＝log35，则(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．a<c<b 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　因为log3eq \f(1,2)<0，所以0<a<1，又b＝log25>log24＝2，1＝log33<c＝log35<log39＝2，所以a<c<b.故选D. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (2)(多选)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中可能成立的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 解析　由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)． 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 由图象可知B，C，D可能成立． 目录 考向一 考向二 考向三 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 * (3)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p0)－20×lg eq \f(p2,p0)＝20×lg eq \f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p2)≥0，即lg eq \f(p1,p2)≥0，所以eq \f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lg eq \f(p2,p0)－20×lg eq \f(p3,p0)＝20×lg eq \f(p2,p3)，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lg eq \f(p2,p3)≥10，即lg eq \f(p2,p3)≥eq \f(1,2)，所以eq \f(p2,p3)≥eq \r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq \r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lg eq \f(p3,p0)＝40，即lg eq \f(p3,p0)＝2，可得eq \f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg eq \f(p1,p2)≤40，即lg eq \f(p1,p2)≤2，可得eq \f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解法二：因为Lp＝20×lg eq \f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，得p＝，因为Lp3＝40，所以p3＝＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则＞，所以＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 目录 考向一 考向二 考向三 * 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 1.(多选)(2024·惠州模拟)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝logeq \s\do7(\f(1,2))eq \f(1,3)，则下列关系式中，正确的是(　　) A．a>b B．a>c C．c>a D．a＋b＝2 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　a＝log2e>log22＝1，即a>1，b＝ln 2<ln e＝1，即b<1，c＝logeq \s\do7(\f(1,2))eq \f(1,3)＝log23>log2e＝a，所以c>a>b，a＋b＝log2e＋ln 2＝eq \f(1,ln 2)＋ln 2，由基本不等式知D错误．故选AC. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 2．(多选)对于0<a<1，下列四个不等式中成立的是(　　) A．loga(1＋a)<logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) B．loga(1＋a)>logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) C．a1＋a<a1＋eq \s\up7(\f(1,a)) D．a1＋a>a1＋eq \s\up7(\f(1,a)) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　∵0<a<1，∴a<eq \f(1,a)，从而1＋a<1＋eq \f(1,a)，∴loga(1＋a)>logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，a1＋a>a1＋eq \s\up7(\f(1,a)).故选BD. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 3．(2023·聊城二模)已知a＝eq \f(2,ln 4)，b＝eq \f(ln 3,ln 2)，c＝eq \f(3,2)，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 解析　∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝eq \f(2,ln 4)－eq \f(3,2)＝eq \f(2－3ln 2,2ln 2)＝eq \f(ln e2－ln 8,2ln 2)<0，∴a＜c；∵b－c＝eq \f(ln 3,ln 2)－eq \f(3,2)＝eq \f(2ln 3－3ln 2,2ln 2)＝eq \f(ln 9－ln 8,2ln 2)＞0，∴b＞c，∴b＞c＞a.故选D. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 角度 例4　(1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do9(\f(1,2))（－x），x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>log\s\do9(\f(1,2))a))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,log\s\do9(\f(1,2))(－a)>log2（－a），))解得a>1或－1<a<0.故选C. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (2)(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a＋16(a∈R)，则关于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，6) D．(2，8) 解析　由题意，得f(x)＝－(x－2)2＋a＋20，则函数f(x)的图象是以直线x＝2为对称轴且开口向下的抛物线，所以f(1)＝f(3)．由f(log2x)>f(1)，可得1<log2x<3，解得2<x<8，所以不等式f(log2x)>f(1)的解集为(2，8)． 目录 考向一 考向二 考向三 * 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (1,\r(log0.5（4x－3）)) INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.(2024·昆明五华区质检)函数y＝的定义域为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) C．(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log0.5（4x－3）>0，,4x－3>0，))解得eq \f(3,4)<x<1，所以原函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).故选A. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 2．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析　由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，所以a>eq \f(1,2).综上，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 角度 例5　(1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))) 解析　当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<eq \f(8,3)；当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，解得a>4，故a不存在．综上可知，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))). 目录 考向一 考向二 考向三 39 答案 解析 * (2)(2024·海口第一次联考)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________． 解析　函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤16，,1≤x2≤16，))解得1≤x≤4，即函数g(x)的定义域为[1，4]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x＋15＝(log2x＋5)2－10，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．当log2x＝2时，g(x)max＝39. 目录 考向一 考向二 考向三 * (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系． (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) 解析　由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)单调递增，所以a≥5.故选D. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 2．(多选)已知函数f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，令eq \f(2x＋1,2x－1)＞0，解得x＞eq \f(1,2)或x＜－eq \f(1,2)，∴f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，又f(－x)＝ln eq \f(－2x＋1,－2x－1)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1,2x－1))) eq \s\up12(－1)＝－ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))，令t＝1＋eq \f(2,2x－1)，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，又t＝1＋eq \f(2,2x－1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，故C正确；f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． 目录 考向一 考向二 考向三 1 答案 解析 * 3．(2023·十堰模拟)已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________． 解析　由题意得ln x∈[0，2]，当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，a＝eq \f(3,2)<2，不符合题意；当0<a<2时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－ln x，x∈[1，ea），,ln x，x∈[ea，e2]，))f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意，故a＝1. 课时作业 KE SHI ZUO YE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 解析 * 解析　x，y为正实数，lg (x2y)＝lg x2＋lg y＝2lg x＋lg y，故A错误；lg (xeq \r(y))＝lg x＋lg eq \r(y)＝lg x＋eq \f(1,2)lg y，故B正确；eln x＋ln y＝eln x·eln y＝xy，故C，D错误．故选B. 一、单项选择题 1．已知x，y为正实数，则(　　) A．lg (x2y)＝(lg x)2＋lg y B．lg (xeq \r(y))＝lg x＋eq \f(1,2)lg y C．eln x＋ln y＝x＋y D．eln x－ln y＝xy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 解析 * 2．(2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C.eq \f(25,9) D.eq \f(5,3) 解析　因为2a＝5，b＝log83＝eq \f(1,3)log23，即23b＝3，所以4a－3b＝eq \f(4a,43b)＝eq \f(（2a）2,（23b）2)＝eq \f(52,32)＝eq \f(25,9).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 N 2 3 4 5 11 12 13 14 15 lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 答案 * 3．(2024·南京模拟)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是35位数，则M的值为(　　) A.3 B．12 C．13 D．14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解析 * 解析　因为N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤ lg a<1)，所以1034≤M31<1035，两边取常用对数得34≤31lg M<35，于是eq \f(34,31)≤lg M<eq \f(35,31)，即1.09<lg M<1.13，所以M＝13.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 解析 * 4．若logaeq \f(2,3)<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞) 解析　因为logaeq \f(2,3)<1，所以logaeq \f(2,3)<logaa.若a>1，则上式显然成立；若0<a<1，则应满足0＜a＜eq \f(2,3).所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 解析 * 解析　由题图易得a>1，∴0<a－1<1.取特殊点x＝0⇒－1<y＝logab<0⇒－1＝logaeq \f(1,a)<logab<loga1＝0，∴0<a－1<b<1.故选A. 5.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 * 6．(2023·宜宾模拟)若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ln （－x），a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤3))的值域为[－3，＋∞)，则a的取值范围是(　　) A．[－e3，0) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e))) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解析 * 解析　当0≤x≤3时，f(x)＝－x2＋2x∈[－3，1]，当a≤x＜0时，f(x)＝－ln (－x)≥－ln (－a)，因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ln （－x），a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤3))的值域为[－3，＋∞)，所以－3≤－ln (－a)≤1，故－1≤ln (－a)≤3，解得－e3≤a≤－eq \f(1,e).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 解析 * 解析　因为log75－log97＝eq \f(lg 5,lg 7)－eq \f(lg 7,lg 9)＝eq \f(lg 5·lg 9－（lg 7）2,lg 7·lg 9)，又因为lg 5·lg 9≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 5＋lg 9,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 45,2)))eq \s\up12(2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 49,2)))eq \s\up12(2)＝(lg 7)2，所以log75－log97<0，即a<b；因为log97－log119＝eq \f(lg 7,lg 9)－eq \f(lg 9,lg 11)＝eq \f(lg 7·lg 11－（lg 9）2,lg 11·lg 9)，又因为lg 7·lg 11≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 7＋lg 11,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 77,2)))eq \s\up12(2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 81,2)))eq \s\up12(2)＝(lg 9)2，所以log97－log119<0，即b<c，所以a<b<c.故选A. 7．(2023·铜陵三模)已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 * 8．(2024·衡水饶阳中学质检)已知x>0，y>0，a≥1，若a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8))) eq \s\up12(y)＋log2x＝log8y3＋2－x，则(　　) A．ln |1＋x－3y|<0 B．ln |1＋x－3y|≤0 C．ln (1＋3y－x)>0 D．ln (1＋3y－x)>1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解析 * 解析　由题意可知，a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3y)＋log2x＝log2y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)，∴log2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)＝log2y－a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3y)<log2(3y)－a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3y)≤log2(3y)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3y)，令f(x)＝log2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)，则f(x)<f(3y)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)<f(3y)，得x<3y，∴3y－x>0，∴1＋3y－x>1，∴ln (1＋3y－x)>ln 1＝0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 * 二、多项选择题 9．(2024·苏州模拟)已知2x＝3，y＝2log32，则(　　) A．x<eq \f(3,2) B．xy＝2 C．x>y D.eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)>eq \r(2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解析 * 解析　由2x＝3，可得x＝log23>log2eq \r(8)＝eq \f(1,2)log28＝eq \f(3,2)，所以A不正确；因为y＝2log32，所以xy＝log23·2log32＝log23·eq \f(2,log23)＝2，所以B正确；因为y＝2log32＝log34<log3eq \r(27)＝eq \f(3,2)，所以x>y，所以C正确；eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,log23)＋eq \f(1,2log32)＝log32＋eq \f(1,2log32)≥2eq \r(log32·\f(1,2log32))＝eq \r(2)，因为log32≠eq \f(1,2log32)，所以等号不成立，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)>eq \r(2)，所以D正确．故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 * 10．关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4 D．函数f(x)有且仅有两个零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解析 * 解析　函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；根据图象，由x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 * 11．(2023·南京一模)已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)是奇函数 C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数 D．函数f(x)的值域为[1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解析 * 解析　根据题意，函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，定义域为R，有f(－x)＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4x)))＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，A正确，B错误；对于C，f(－1)＝log2eq \f(5,2)>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)＋2x))，设t＝eq \f(1,2x)＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22＝1，即函数f(x)的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 ln 2 答案 解析 * 三、填空题 12．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________． －eq \f(1,2) 解析　因为函数f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋eq \f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq \f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq \f(1,2)，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln 2＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 解析 * 13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是______________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_____________________________． (－eq \r(3)，eq \r(3)) 解析　由函数f(x)的定义域为R，则x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－eq \r(3)<a<eq \r(3).设A为y＝x2－2ax＋3的值域，则A＝[3－a2，＋∞)，若f(x)的值域为R，则(0，＋∞)⊆A，所以3－a2≤0，解得a≤－eq \r(3)或a≥eq \r(3). (－∞，－eq \r(3)]∪[eq \r(3)，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 答案 * 14．如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则四边形ABDC的面积为____________． eq \f(4\r(3),3)log23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解析 * 解析　设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设知，x1＞1，x2＞1.则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.因为A，B在过点O的直线上，所以eq \f(log8x1,x1)＝eq \f(log8x2,x2)，点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)．由BC平行于x轴，知log2x1＝log8x2，即log2x1＝eq \f(1,3)log2x2，∴x2＝xeq \o\al(3,1).代入x2log8x1＝x1log8x2得xeq \o\al(3,1)log8x1＝3x1log8x1.由x1＞1知log8x1≠0，∴xeq \o\al(3,1)＝3x1.考虑x1＞1，解得x1＝eq \r(3).于是点A的坐标为(eq \r(3)，log8eq \r(3))，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,6)log23))，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，\f(1,2)log23))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)log23))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，\f(3,2)log23))，∴梯形ABDC的面积为S＝eq \f(1,2)(AC＋BD)·BC＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)log23＋log23))×2eq \r(3)＝eq \f(4\r(3),3)log23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 * 四、解答题 15．(2024·镇江模拟)已知函数f(x)＝9x－28×3x＋1＋243，g(x)＝log2eq \f(x2,8)·log2eq \f(\r(x),2). (1)设集合A＝{x∈R|f(x)≤0}，求集合A； (2)当x∈A时，求g(x)的最大值和最小值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解 * 解　(1)由f(x)＝9x－28×3x＋1＋243≤0， 得(3x)2－84×3x＋243≤0， 即(3x－3)(3x－81)≤0，则3≤3x≤81， 解得1≤x≤4，∴A＝{x|1≤x≤4}． (2)g(x)＝log2eq \f(x2,8)·log2eq \f(\r(x),2)＝(2log2x－3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log2x－1)) ＝(log2x)2－eq \f(7,2)log2x＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x－\f(7,4))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,16). ∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]， ∴当log2x＝0时，g(x)max＝3； 当log2x＝eq \f(7,4)时，g(x)min＝－eq \f(1,16). 故g(x)的最大值为3，最小值为－eq \f(1,16). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 * 16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 解 * 金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 解　∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R， 当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数， ∴方程loga(ax＋t2)＝eq \f(1,2)x有两个不同的根，∴ax＋t2＝，即ax－＋t2＝0， 令u＝，u>0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0， 解得t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). 1 　　　　　　　　　　　　　 R $$