第3章 第5讲 指数与指数函数-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第三章　函数与幂函数、指数函数、对数函数 第5讲　指数与指数函数 [课程标准]1.通过对有理数指数幂aeq \f(m,n)(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 目录 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 课时作业 KE SHI ZUO YE 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 xn＝a 正数 两个 相反数 * 1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果eq \x(\s\up1(01))____________，那么x叫做a的n次方根 — n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个eq \x(\s\up1(02))_________，负数的n次方根是一个eq \x(\s\up1(03))_________ eq \r(n,a) 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有eq \x(\s\up1(04))_____，它们互为eq \x(\s\up1(05))_________ ±eq \r(n,a)(a＞0) 负数没有偶次方根 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * 2.分数指数幂 (1)aeq \s\up7(\f(m,n))＝eq \x(\s\up1(06))_________ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)a－eq \s\up7(\f(m,n))＝eq \x(\s\up1(07))_________＝eq \x(\s\up1(08))_________ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． eq \r(n,am) eq \f(1,a\s\up7(\f(m,n)) ) eq \f(1,\r(n,am)) 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 ar＋s ars arbr y＝ax(a>0，且a≠1) * 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝eq \x(\s\up1(09))__________ (a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝eq \x(\s\up1(10))________ (a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝eq \x(\s\up1(11))________ (a>0，b>0，r∈Q)． 4．指数函数的概念 函数eq \x(\s\up1(12))_____________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数 * 5．指数函数的图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为eq \x(\s\up1(13))___________________ 函数图象过定点eq \x(\s\up1(14))___________，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1; 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 eq \x(\s\up1(15))___________ eq \x(\s\up1(16))___________ 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * 1．(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)． 2.eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数且n>1，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数且n>1.)) 3．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影 响如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高． 4．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)的图象关于y轴对称． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 解析 * 1．(人教A必修第一册习题4.1 T1改编)化简eq \r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 解析　因为x<0，y<0，所以eq \r(4,16x8y4)＝eq \r(4,24·（x2）4y4)＝|2x2y|＝－2x2y. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 解析 * 2．(人教A必修第一册习题4.1 T7(1)改编)已知5m＝10，5n＝2，则＝(　　) A．2eq \r(10) B．3eq \r(10) C．20 D．5eq \r(10) 解析　5eq \s\up7(\f(3m-2n,2))＝eq \r(\f(53m,52n))＝eq \r(\f(（5m）3,（5n）2))＝eq \r(\f(103,22))＝eq \r(52×10)＝5eq \r(10). 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 (2023，2024) 解析 答案 * 解析　令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故点A的坐标为(2023，2024)． 3．函数f(x)＝ax－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为____________． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 b<a<c 解析 答案 * 解析　因为函数y＝0.99x在R上单调递减，所以0.993.3>0.994.5，即a>b，又因为0.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a<c.综上可知，b<a<c. 4．(人教A必修第一册习题4.2 T6改编)设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为________． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析 答案 * 5．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，则a的值为________． 解析　当0＜a＜1时，a－a2＝eq \f(a,2)，∴a＝eq \f(1,2)；当a＞1时，a2－a＝eq \f(a,2)，∴a＝eq \f(3,2).综上所述，a＝eq \f(1,2)或eq \f(3,2). eq \f(1,2)或eq \f(3,2) 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 目录 考向一 考向二 考向三 * 考向一　指数幂的运算 例1　求值与化简： (1)8eq \s\up7(\f(2,3))××eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(－3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))－eq \s\up7(\f(3,4))； (2)eq \f((a\s\up7(\f(2,3) )b－1)－\s\up7(\f(1,2))a－\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),\r(6,ab5))(a>0，b>0)； 目录 考向一 考向二 考向三 * 目录 考向一 考向二 考向三 解 * 解　(1)原式＝(23)eq \s\up7(\f(2,3))×(102)-eq \s\up7(\f(1,2))×(2－2)－3×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(4)))-eq \s\up7(\f(3,4))＝22×10－1×26×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(－3)＝eq \f(432,5). (2)原式＝eq \f(a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,2))a－\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),a\s\up7(\f(1,6))b\s\up7(\f(5,6)))＝a－eq \s\up7(\f(1,3))－eq \s\up7(\f(1,2))－eq \s\up7(\f(1,6))beq \s\up7(\f(1,2))＋eq \s\up7(\f(1,3))－eq \s\up7(\f(5,6))＝eq \f(1,a). 目录 考向一 考向二 考向三 解 * (3)原式＝(aeq \s\up7(\f(9,2))a－eq \s\up7(\f(3,2)))eq \s\up7(\f(1,3))÷(a－eq \s\up7(\f(7,3))aeq \s\up7(\f(13,3)))eq \s\up7(\f(1,2))＝(a3)eq \s\up7(\f(1,3))÷(a2)eq \s\up7(\f(1,2))＝a÷a＝1. (4)将aeq \s\up7(\f(1,2))＋a－eq \s\up7(\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9， 所以a＋a－1＝7. 将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47， 所以eq \f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq \f(47＋1,7＋1)＝6. 目录 考向一 考向二 考向三 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． * 目录 考向一 考向二 考向三 a4 答案 解析 * \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\r(6,a9)))) INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.eq \s\up12(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6,\r(3,a9))))eq \s\up12(4)＝________． 解析　原式＝[(aeq \s\up7(\f(9,6)))eq \s\up7(\f(1,3))]4[(aeq \s\up7(\f(9,3)))eq \s\up7(\f(1,6))]4＝a2·a2＝a4. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 2．已知3a＋2b＝1，则eq \f(9a·3b,\r(3a))＝________． 解析　因为3a＋2b＝1，所以eq \f(3,2)a＋b＝eq \f(1,2)，所以原式＝ eq \r(3) 目录 考向一 考向二 考向三 解 * 3． 解 目录 考向一 考向二 考向三 解 * 4．计算：0.027－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq \s\up12(－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq \s\up7(\f(1,2))－(eq \r(2)－1)0. 解　原式＝(0.33)－eq \s\up7(\f(1,3))－72＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq \s\up7(\f(1,2))－1＝eq \f(10,3)－49＋eq \f(5,3)－1＝－45. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 考向二　指数函数的图象及其应用 例2　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2023a＝2024b，则下列关系式有可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．a＝b 解析　在同一坐标系下画出y＝2023x与y＝2024x的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 解析　①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<eq \f(1,2)；②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 目录 考向一 考向二 考向三 处理指数图象问题的策略 (1)抓住特殊点 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)． (2)巧用图象变换 常见的变换有：①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到； * 目录 考向一 考向二 考向三 ②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到； ③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称． * 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.(2023·天津滨海七校二模)函数f(x)＝eq \s\up12(|x＋1|)的图象大致为(　　) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　作出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≥0，,2x，x<0))的图象，如图所示，将y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)的图象向左平移1个单位得到f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x＋1|)的图象．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为(　　) A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 多角度探究突破 考向三　指数函数的性质及其应用 角度 　比较指数幂的大小 例3　(1)(2023·淮南一模)设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq \s\up7(\f(3,7))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))eq \s\up7(\f(4,7))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq \s\up7(\f(4,7))，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．b>a>c 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　∵函数y＝xeq \s\up7(\f(4,7))是(0，＋∞)上的增函数，eq \f(3,7)<eq \f(4,7)，∴b<c.∵函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq \s\up12(x)是R上的减函数，eq \f(3,7)<eq \f(4,7)，∴a>c.综上，a>c>b.故选A. 目录 考向一 考向二 考向三 (2)(2023·沈阳模拟)若p：0<a<b；q：4a－4b<5－a－5－b，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　设f(x)＝4x－5－x，则函数f(x)为增函数，则由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a<b，所以0<a<b是4a－4b<5－a－5－b的充分不必要条件．故选A. 答案 解析 * 目录 考向一 考向二 考向三 比较指数式大小的方法 比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． * 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * A．1.72.5>1.73 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))<2－eq \s\up7(\f(4,3)) C．1.70.3<0.93.1 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(3,4))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up7(\f(2,3)) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；∵2－eq \s\up7(\f(4,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(4,3))，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)为减函数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(4,3))＝2－eq \s\up7(\f(4,3))，故B不正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C不正确；∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)为减函数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(3,4))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(2,3))，又y＝xeq \s\up7(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up7(\f(2,3))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(3,4))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up7(\f(2,3))，故D正确． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 2．(2024·宿迁模拟)设eq \f(1,2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)<1，那么(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa 解析　∵eq \f(1,2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)<1且y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在R上是减函数，∴0<a<b<1，∴指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab<aa，∴幂函数y＝xa在R上是增函数，∴aa<ba，∴ab<aa<ba.故选C. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 角度 例4　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． eq \f(1,2) 解析　①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝eq \f(1,2)；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝eq \f(1,2). 目录 考向一 考向二 考向三 [1，＋∞) 答案 解析 * (2)(2023·邯郸一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________． 解析　由10x－6x－3x≥1，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10))) eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10))) eq \s\up12(x)≤1，令f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10))) eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10))) eq \s\up12(x)，因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10))) eq \s\up12(x)，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up12(x)，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10))) eq \s\up12(x)均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)． 目录 考向一 考向二 考向三 1．解指数方程的依据 af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)． 2．解指数不等式的思路方法 对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． * 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.若x满足不等式2x2＋1≤eq \s\up12(x－2)，则函数y＝2x的值域是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞) 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　将≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(x－2)化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)). 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 2．方程4x＋|1－2x|＝11的解为________． x＝log23 解析　当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0，∴(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23；当x<0时，原方程化为4x－2x－10＝0，令t＝2x，则t2－t－10＝0(0<t<1)．由求根公式得t＝eq \f(1±\r(41),2)均不符合题意，故x<0时，方程无解．综上，原方程的解为x＝log23. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 角度 例5　(1)(2023·大庆二模)已知函数f(x)＝eq \f(4x,2＋4x)，则(　　) A．f(0.1)>f(0.2) B．函数f(x)有一个零点 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))对称 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　函数f(x)＝eq \f(4x,2＋4x)的定义域为R.对于A，函数f(x)＝eq \f(4x,2＋4x)＝1－eq \f(2,2＋4x)，函数y＝4x在R上为增函数，易得f(x)在R上为增函数，则有f(0.1)<f(0.2)，A错误；对于B，f(x)＝eq \f(4x,2＋4x)，有4x>0，则有f(x)>0，所以f(x)没有零点，B错误；对于C，f(1)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，f(－1)＝eq \f(4－1,2＋4－1)＝eq \f(1,9)，所以f(1)≠f(－1)，f(x)不是偶函数，C错误； 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 对于D，因为f(x)＝eq \f(4x,2＋4x)，所以f(1－x)＝eq \f(41－x,2＋41－x)＝eq \f(4,2·4x＋4)＝eq \f(2,4x＋2)，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))对称，D正确．故选D. 目录 考向一 考向二 考向三 [－2，＋∞) 0 答案 * (2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(ax2－4x＋3)(a∈R)．若a＝－1，则函数f(x)的单调递增区间为___________；若f(x)的值域是(0，＋∞)，则a＝________． 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　当a＝－1时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(－x2－4x＋3)，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(t)在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)．令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(h（x）)，由指数函数的性质知，要使f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(h（x）)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)，故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0. 目录 考向一 考向二 考向三 指数函数综合问题的处理策略 (1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值． (2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断． * 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (1,9) INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "文件/即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由f(1)＝eq \f(1,9)，得a2＝eq \f(1,9)，所以a＝eq \f(1,3)或a＝－eq \f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(|2x－4|)，由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 [－5，31] 答案 解析 * 2．(2023·银川校联考二模)已知函数f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，则其值域为____________． 解析　令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的图象关于直线t＝2对称，开口向上，∴g(t)在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t＝2时，函数取得最小值，即g(t)min＝－5，当t＝8时，函数取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域为[－5，31]． 课时作业 KE SHI ZUO YE 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 一、单项选择题 1．化简eq \f(2c,3a) eq \r(4,\f(81a5b2,16c4))(a>0，c<0)的结果为(　　) A．±eq \r(4,ab2) B．－eq \r(4,ab2) C．－eq \r(ab2) D.eq \r(ab2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　原式＝eq \f(2c,3a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81a5b2,16c4)))eq \s\up7(\f(1,4))＝eq \f(2c,3a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34a5b2,24c4)))eq \s\up7(\f(1,4))＝eq \f(2c,3a)·eq \f(3a（ab2）\s\up7(\f(1,4)),－2c)＝－eq \r(4,ab2).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 2．(a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2)2x＋5的解集为(　　) A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 解析　∵a2－a＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)>1，∴－x－1<2x＋5，∴x>－2.故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 3．(2024·滁州模拟)函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq \s\up12(－x)在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是(　　) A．a∈(0，2) B．a∈[0，1) C．a∈[1，2) D．a∈(1，2] 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　函数f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上单调递减，可得a－2<0，即a<2；函数g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq \s\up12(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))eq \s\up12(x)在(0，＋∞)上单调递减，可得0<eq \f(a,4)<1，解得0<a<4，若函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq \s\up12(－x)均单调递减，可得0<a<2，由题意可得所求区间真包含于(0，2)，结合选项，函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq \s\up12(－x)均单调递减的一个充分不必要条件是a∈[1，2)．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 4．(2023·南昌模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：eq \r(3,2)≈1.26，eq \r(3,4)≈1.59)(　　) A．30.24元/千克 B．33.84元/千克 C．38.16元/千克 D．42.64元/千克 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由题意可知eq \f(e4a＋b,ea＋b)＝e3a＝2，ea＝eq \r(3,2)，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝ea＋b·e2a＝24e2a＝24×eq \r(3,4)≈38.16.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 5．(2023·唐山模拟)不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≤eq \r(x)的解集是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　在同一坐标系中作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，y＝eq \r(x)的图象，如图所示，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝eq \r(x)得x＝eq \f(1,2)，结合图象知，不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≤eq \r(x)的解集是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 6．(2024·盐城模拟)设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,9))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,3)·3b<eq \f(2,3)×3－1＝eq \f(2,9)，又因为eq \f(2,3)·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))).故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 7．若关于x的方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(|x|)＋a－2＝0有解，则a的取值范围是(　　) A．[0，1) B．[1，2) C．[1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(|x|)＋a－2＝0有解等价于2－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(|x|)有解．因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(|x|)的值域为(0，1]，所以0<2－a≤1，解得1≤a<2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 8．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，则(　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))，又eq \f(\r(2),2)＜2－eq \f(\r(6),2)＜eq \f(\r(3),2)＜1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，所以b＞c＞a.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 二、多项选择题 9．(2024·福建师大附中高三月考)已知函数f(x)＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x＜y＜0，则f(x)＜f(y) D．f(x)的值域为[0，2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　∵f(x)＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)＋b的图象过原点，∴a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(0)＋b＝0，∴a＋b＝0，故A正确；由f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则b＝2，又a＋b＝0，则a＝－2，则f(x)＝－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)＋2，其定义域为R，∵f(－x)＝－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)＋2＝f(x)，则f(x)是偶函数，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，x＋y＝0，故B正确；∵f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴当x＜y＜0时，f(x)＞f(y)，故C错误；∵0<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)≤1，∴－2≤－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)<0，∴0≤－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)＋2＜2，∴f(x)的值域为[0，2)，故D正确．故选ABD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 10．(2023·淄博模拟)关于函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0，＋∞) C．方程f(x)＝x有且只有一个实根 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)在定义域内单调递减，所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝eq \f(1,4x＋1＋2)＋eq \f(1,4－x＋2)＝eq \f(1,4·4x＋2)＋eq \f(4x,2·4x＋1)＝eq \f(1,2)，所以f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))对称，所以D正确．故选ACD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．0<a<b<1 B．b<a<0 C．1<a<b D．a＝b 答案 * 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 三、填空题 12．(2023·长沙一模)使得“2x>4x2”成立的一个充分条件 是____________________________． 0<x<eq \f(1,4)(答案不唯一) 解析　由于4x2＝22x2，故2x>4x2等价于x>2x2，解得0<x<eq \f(1,2)，使得“2x>4x2”成立的一个充分条件只需为集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))))的子集即可，故答案可以为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,4))))). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1，＋∞) f(－4)>f(1) 答案 解析 * 13．(2024·皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________． 解析　因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，－18] 答案 解析 * 14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________________． 解析　设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9)).又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9))上单调递减，故有－eq \f(m,2)≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 * 四、解答题 15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3(a>0，且a≠1)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 解　(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 对于定义域内任意x，有 f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－x－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ax,1－ax)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3＝f(x)， ∴函数f(x)为偶函数． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * (2)由(1)知f(x)为偶函数， ∴只需讨论x>0时的情况． 当x>0时，要使f(x)>0， 则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3>0， 即eq \f(1,ax－1)＋eq \f(1,2)>0，即eq \f(ax＋1,2（ax－1）)>0，则ax>1. 又x>0，∴a>1. ∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 * 16．(2024·莆田模拟)已知函数f(x)＝eq \f(3x＋b,3x＋1)是定义域为R的奇函数． (1)求实数b的值，并证明函数f(x)在R上单调递增； (2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋eq \f(3,2)≥ax2－2恒成立，求实数a的取值范围． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 解　(1)因为函数f(x)＝eq \f(3x＋b,3x＋1)是定义域为R的奇函数， 则f(0)＝eq \f(1＋b,2)＝0，解得b＝－1，此时f(x)＝eq \f(3x－1,3x＋1)＝1－eq \f(2,3x＋1). 对任意的x∈R，3x＋1>0，即函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝eq \f(3－x－1,3－x＋1)＝eq \f(3x（3－x－1）,3x（3－x＋1）)＝eq \f(1－3x,1＋3x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，符合题意． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 任取t1，t2∈R且t1<t2，则0<3t1<3t2， 所以f(t1)－f(t2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3t1＋1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3t2＋1)))＝eq \f(2（3t1－3t2）,（3t1＋1）（3t2＋1）)<0， 则f(t1)<f(t2)， 所以函数f(x)在R上单调递增． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * (2)由(1)可知，函数f(x)在[1，3]上为增函数， 对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋eq \f(3,2)≥ax2－2， 则ax2－2－eq \f(3,2)≤f(1)＝eq \f(1,2)，所以ax2－2≤2， 因为x2∈[1，3]，所以x2－2∈[－1，1]． 当0<a<1时，则有a－1≤2，解得eq \f(1,2)≤a<1； 当a>1时，则有a≤2，此时1<a≤2. 综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，2]． 　　　　　　　　　　　　　 R $$