第3章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第三章　函数与幂函数、指数函数、对数函数 第3讲　函数的奇偶性与周期性 [课程标准]1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义． 目录 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 课时作业 KE SHI ZUO YE 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 －x∈I f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 原点 y轴 * 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有eq \x(\s\up1(01))_______ 且eq \x(\s\up1(02))___________________，那么函数f(x)是奇函数 且eq \x(\s\up1(03))_________，那么函数f(x)是偶函数 图象特点 关于eq \x(\s\up1(04))________对称 关于eq \x(\s\up1(05))______对称 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 x＋T∈D f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 * 2.函数的周期性 (1)周期函数 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有eq \x(\s\up1(06))_____________，且eq \x(\s\up1(07))____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个eq \x(\s\up1(08))________的正数，那么这个eq \x(\s\up1(09))___________就叫做f(x)的最小正周期． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * 1．函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * 2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)． (2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)． (3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 解析 * 1．(2023·北京丰台区三模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ln x B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝3－|x| 解析　对于A，y＝ln x为非奇非偶函数，不满足题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝3－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．故选B. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 解析 * 2．(人教B必修第一册习题3－1B T8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3). 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 [－5，－2)∪(2，5] 答案 解析 * 3.(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为____________________． 解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数， ∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析 答案 * 4．(人教A必修第一册习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是奇函数且 定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________． 解析　当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.)) f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0)) 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 －1 解析 答案 * 解析　因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 5．(2024·大庆实验中学月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2023)＝________． 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 目录 考向一 考向二 考向三 * 考向一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)； (2)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1，x＜0；)) (3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]； (4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (5)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2). 目录 考向一 考向二 考向三 解 * 解　(1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)解法一(定义法)： 当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 目录 考向一 考向二 考向三 解 * 解法二(图象法)： 作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． (3)因为f(x)的定义域为[－1，4]不关于原点对称， 所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (4)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 目录 考向一 考向二 考向三 解 * (5)由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2>0，所以f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)，定义域为[－1，0)∪(0，1]． 所以f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． 目录 考向一 考向二 考向三 * 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 目录 考向一 考向二 考向三 * (2)图象法 (3)性质法 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 1.函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(a，f(－a)) C．(－a，－f(a)) D．(－a，－f(－a)) 解析　∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵(a，f(a))一定在函数f(x)的图象上，而f(a)＝f(－a)，∴(a，f(－a))一定在函数f(x)的图象上．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析　解法一：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝－1＋eq \f(2,x＋1)，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解法二：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq \f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝eq \f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq \f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝eq \f(－x,x＋2).对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函数；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故G(x)为奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝eq \f(－x,x＋2)－1＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝eq \f(－x,x＋2)＋1＝eq \f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 解析　因为函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－log2\f(1,2)))＝－eq \f(5,4).故选D. 考向二　函数奇偶性的应用 例2　(1)(2024·南昌二中月考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝(　　) A．－eq \f(1,4) B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(5,4) 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．eq \f(1,2) D．1 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln eq \f(1,3)＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－eq \f(1,2)，则其定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln eq \f(2（－x）－1,2（－x）＋1)＝(－x)ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝(－x)ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))eq \s\up12(－1)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解法二：设g(x)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝ln eq \f(－2x－1,－2x＋1)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 －1 －2－x－2x＋1 答案 解析 * (3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________________． 解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1. 目录 考向一 考向二 考向三 * 已知函数奇偶性可以解决的四个问题 求函数值 利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出 求参数 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数 画图象 利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题 目录 考向一 考向二 考向三 －1 答案 解析 * 1.(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x是偶函数，则a＝________． 解析　因为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，所以(e－x－aex)cos3x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x，整理得(a＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0恒成立，所以a＝－1. 目录 考向一 考向二 考向三 3x＋3－x 答案 解析 * 2．(2024·襄阳五中阶段考试)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2×3x，则函数f(x)＝________． 解析　因为f(x)＋g(x)＝2×3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2×3－x，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2×3－x，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋g（x）＝2×3x，,f（x）－g（x）＝2×3－x，))两式相加，得2f(x)＝2×3x＋2×3－x，所以f(x)＝3x＋3－x. 目录 考向一 考向二 考向三 2 答案 解析 * 3．设函数f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 解析　显然函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq \f(2x＋sinx,x2＋1)，设g(x)＝eq \f(2x＋sinx,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 解析　依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D. 考向三　函数的周期性 例3　(1)(2023·武汉二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列是周期函数的是(　　) A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋x C．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x 目录 考向一 考向二 考向三 解 * (2)(2022·新高考Ⅱ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1. ①证明：函数f(x)为偶函数； ②证明：函数f(x)为周期函数； ③求eq \o(∑,\s\up7(22),\s\do7(k=1))f（k）. 解　①证明：因为f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），令x＝1，y＝0，可得2f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，令x＝0，可得f（y）＋f（－y）＝2f（y），即f（y）＝f（－y），所以函数f（x）为偶函数. 目录 考向一 考向二 考向三 解 * ②证明：令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1）＝f（x），即有f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1），从而可得f（x＋2）＝－f（x－1），f（x－1）＝－f（x－4），故f（x＋2）＝f（x－4），即f（x）＝f（x＋6），所以函数f（x）是周期为6的周期函数. ③令x＝y＝1，可得f（2）＝[f（1）]2－f（0）＝1－2＝－1，令x＝2，y＝1，可得f（3）＝f（2）f（1）－f（1）＝－1×1－1＝－2，f（4）＝f（－2）＝f（2）＝－1，f（5）＝f（－1）＝f（1）＝1，f（6）＝f（0）＝2，所以一个周期内的f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以eq \o(∑,\s\up17(22),\s\do17(k=1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 目录 考向一 考向二 考向三 * 函数周期性的判断与应用 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 1.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝eq \f(13,f（x）)且f(2)＝2，则f(2024)＝________． 解析　因为f(x＋2)＝eq \f(13,f（x）)，所以f(2)＝eq \f(13,f（0）)，又f(2)＝2，所以f(0)＝eq \f(13,2)，因为f(x＋4)＝eq \f(13,f（x＋2）)＝eq \f(13,\f(13,f（x）))＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝eq \f(13,2). eq \f(13,2) 目录 考向一 考向二 考向三 7 答案 解析 * 2．(2024·成都模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________． 解析　因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * 考向四　函数图象的对称性 例4　(1)(2024·河南部分学校联考)已知函数f(x)＝eq \f(x2,x2－6x＋18)，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(x)的图象关于点(3，1)对称 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　由f(－x)＝eq \f(x2,x2＋6x＋18)，易知A，B不正确；由题意得f(2)＝eq \f(2,5)，f(4)＝eq \f(8,5)，故f(2)≠f(4)，故C不正确；f(x)＝eq \f(x2,（x－3）2＋9)，故f(6－x)＋f(x)＝eq \f(（6－x）2,（3－x）2＋9)＋eq \f(x2,（x－3）2＋9)＝eq \f(2x2－12x＋36,（x－3）2＋9)＝2，故f(x)的图象关于点(3，1)对称，故D正确．故选D. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 * (2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．4为f(x)的周期 D．y＝f(x＋4)为偶函数 目录 考向一 考向二 考向三 解析 * 解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4为f(x)的周期，故C正确；∵4为f(x)的周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD. 目录 考向一 考向二 考向三 * 1．由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a，0)对称)． 2．函数图象自身对称的两个结论 (1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，即f(x)＋f(2a－x)＝2b，则f(x)的图象关于点(a，b)对称． 提醒：函数图象自身对称性满足的等式与函数周期性容易混淆，区别是前者和为常数，后者差为常数． 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (2023·海口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|·f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝(　　) A．5 B．1 C．－1 D．－5 解析　因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函数，g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，所以|x|f(2－x)＝|x|f(x＋2)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)，因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1，因此g(3)＝|3－2|f(3)＝1.故选B. 课时作业 KE SHI ZUO YE 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 一、单项选择题 1．(2024·丹东模拟)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝lg x B．y＝eq \r(3,x) C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(x) D．y＝eq \f(x2,x＋1) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，故A不符合题意；函数y＝eq \r(3,x)的定义域为R，则f(－x)＝eq \r(3,－x)＝－eq \r(3,x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，故B不符合题意；函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(x)的定义域为R，则f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(－x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)＝f(x)，故该函数为偶函数，故C符合题意；函数y＝eq \f(x2,x＋1)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故该函数为非奇非偶函数，故D不符合题意．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 2．(2023·成都二模)若函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝eq \f(x,4－2x)，则f(23)＝(　　) A．－1 B．－eq \f(1,2) C．0 D.eq \f(1,2) 解析　依题意，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(23)＝f(4×5＋3)＝f(3)．又因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝eq \f(x,4－2x)，所以f(1)＝eq \f(1,4－2×1)＝eq \f(1,2)，所以f(3)＝－f(1)＝－eq \f(1,2).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 3．(2023·上饶一模)已知函数f(x)＝sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 解析　函数f(x)＝sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－eq \f(1,x)＋3＋sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3＝－sinx－x3－eq \f(1,x)＋sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故选C. 解法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，因而y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为x＝eq \f(a,2)＝1，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，故b＝1.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 5．(2023·晋中二模)已知函数f(x)＝2x－eq \f(16,2x)(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝2对称 B．关于点(2，0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 解析　f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 解析　由已知f(－x)＝ln (－2x＋eq \r(4x2＋a))＝ln eq \f(（－2x＋\r(4x2＋a)）（2x＋\r(4x2＋a)）,2x＋\r(4x2＋a))＝ln eq \f(a,2x＋\r(4x2＋a))，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＋f(－x)＝ln (2x＋eq \r(4x2＋a))＋ln eq \f(a,2x＋\r(4x2＋a))＝ln a＝0，所以a＝1，故f(x)＝ln (2x＋eq \r(4x2＋1))，所以f(eq \r(2))＝ln (2eq \r(2)＋3)＝2ln (eq \r(2)＋1)． 6．(2024·安庆、池州、铜陵三市开学联考)已知函数f(x)＝ln (2x＋eq \r(4x2＋a))为奇函数，则f(eq \r(2))＝(　　) A．ln (eq \r(2)－1) B．ln (eq \r(2)＋1) C．2ln (eq \r(2)－1) D．2ln (eq \r(2)＋1) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 7．(2023·张家口一模)下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是(　　) A．f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1) B．f(x)＝－x2＋x C．f(x)＝|sinx| D．f(x)＝xeq \f(1,3)＋x－eq \f(1,3) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　对于A，f(－x)＝eq \f(2－x－1,2－x＋1)＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，f(x)＝eq \f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq \f(2,2x＋1)<1，故A正确；对于B，f(－x)＝－x2－x≠－f(x)，f(x)不是奇函数，不满足条件，故B错误；对于C，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，f(x)是偶函数，不满足条件，故C错误；对于D，f(x)＝eq \r(3,x)＋eq \f(1,\r(3,x))，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(8)＝eq \r(3,8)＋eq \f(1,\r(3,8))＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)>1，不满足条件，故D错误．故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 8．(2023·南通二模)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则函数f(x)的最小值为(　　) A．e B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．2e 解析　因为函数y＝f(x)＋ex是偶函数，则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2eq \r(ex·2e－x)＝2eq \r(2)，当且仅当ex＝2e－x，即x＝eq \f(1,2)ln 2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2eq \r(2).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 二、多项选择题 9．(2023·临沂一模)已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是(　　) A．g(x)＝lg eq \f(1＋x,1－x) B．g(x)＝3x－3－x C．g(x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1) D．g(x)＝ln (eq \r(x2＋1)＋x) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．对于A，函数定义域为(－1，1)，A不符合题意；对于B，函数定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，B符合题意；对于C，函数定义域为R，g(－x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2－x＋1)＝eq \f(1,2)＋eq \f(2x,1＋2x)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,1＋2x)≠－g(x)，C不符合题意；对于D，函数定义域为R，g(－x)＝ln (eq \r(x2＋1)－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln (eq \r(x2＋1)－x)＋ln (eq \r(x2＋1)＋x)＝0，D符合题意．故选BD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 10．(2024·衡水模拟)已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝x＋eq \f(1,x＋3) B．f(x)＝ex－3＋e3－x C．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝|x2－6x| 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　若函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则f(6－x)＝f(x)．对于A，f(6－x)＝6－x＋eq \f(1,9－x)≠f(x)，A不符合题意；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B符合题意；对于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C不符合题意；对于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D符合题意．故选BD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 11．(2023·襄阳二模)定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．∀x∈R，f(f(x))＝2024 D．f(x)的最小正周期为1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　对于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误；对于B，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0，综上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数，B正确；对于C，若x为整数，f(x)＝2024，x不为整数时，f(x)＝0，总之f(x)是整数，则f(f(x))＝2024，C正确；对于D，若x为整数，则x＋1也为整数，若x不为整数，则x＋1也不为整数，总之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期为1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一个是整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期为1，D正确．故选BCD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 解析 * 三、填空题 12．(2024·湖北部分名校模拟)已知函数y＝f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k(k为常数)，且当x∈[0，3]时，f(x)＝x2＋1，则f(2023)＝________． 解析　因为对任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k，k为常数，所以f(x＋6)f(x＋3)＝k，从而f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期为6，所以f(2023)＝f(1)＝2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 解析 * 13．(2024·金华一中质检)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋m，－1<x<0，,\r(x)，0≤x≤1，))其中m∈R.若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则m的值是________． 解析　由题意得，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋m＝－eq \f(3,4)＋m，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝eq \r(\f(1,16))＝eq \f(1,4)，所以eq \f(1,4)＝－eq \f(3,4)＋m，解得m＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①③ 答案 * 14．(2024·上海市七宝中学模拟)设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题： ①若对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则f(x)一定不是奇函数； ②若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，则f(x)为奇函数或偶函数； ③若对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)必为偶函数； ④若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)为R上的增函数，则f(x)必为奇函数． 其中为真命题的是________(请写出所有真命题的序号)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　对于①，对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则|f(0)|＝1，但奇函数中f(0)＝0，矛盾，所以f(x)一定不是奇函数，①为真命题；对于②，|f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，若x∈[－1，1]时满足f(x)－f(－x)＝0，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)在x∈R上为非奇非偶函数，②为假命题；对于③，对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)＝|f(－x)|＝|f(x)|，所以f(－x)＝|f(x)|＝f(x)，所以函数f(x)必为偶函数，③为真命题；对于④，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,\f(1,2)，x＝0，,x－1，x<0))符合题意，但f(x)不是奇函数，④为假命题． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 * 四、解答题 15．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，且当x>0时，f(x)>0. (1)求f(0)的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明； (3)判断函数f(x)的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 解　(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0. (2)函数f(x)是R上的奇函数．证明如下： 令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数． (3)函数f(x)是R上的增函数．证明如下： 任取x1，x2∈R，x1<x2，则x2－x1>0， 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x1)<f(x2)，故函数f(x)是R上的增函数． ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝2，∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))， 又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，得2x＋2<eq \f(2,3)，解得x<－eq \f(2,3)，故不等式f(x)＋f(2＋x)<2的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 16．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积． 解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 又f(x)为奇函数， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * (2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)． 故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4. 　　　　　　　　　　　　　 R $$