第3章 第1讲 函数的概念及其表示-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第三章　函数与幂函数、指数函数、对数函数 第1讲　函数的概念及其表示 [课程标准]　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.4.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 目录 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 课时作业 KE SHI ZUO YE 基础知识整合 JI CHU ZHI SHI ZHENG HE 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 非空的实数集 任意 唯一确定 * 1．函数的定义 前提 设A，B是两个eq \x(\s\up1(01))_________________ 对应关系 对于集合A中的eq \x(\s\up1(02))_____一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有eq \x(\s\up1(03))__________的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 定义域 值域 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 * 2.函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的eq \x(\s\up1(04))_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的eq \x(\s\up1(05))_______． 3．函数的三要素：eq \x(\s\up1(06))_________、eq \x(\s\up1(07))__________和eq \x(\s\up1(08))_______． 4．同一个函数：如果两个函数的eq \x(\s\up1(09))_______相同，且eq \x(\s\up1(10))___________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析法 列表法 图象法 对应关系 * 5．函数的表示法 表示函数的常用方法有：eq \x(\s\up1(11))_______、eq \x(\s\up1(12))_______、eq \x(\s\up1(13))_______． 6．分段函数 (1)定义：若函数在定义域的不同子集上，因eq \x(\s\up1(14))_________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)定义域和值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． (3)注意点：分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 * 定义 图象 y＝ax＋eq \f(b,x)(ab>0) 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 * 1．下列关于x，y的关系中，y是x的函数的是(　　) A．y＝eq \r(x－4)＋eq \r(3－x) B．y2＝4x C．y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,1－2x，x≤1)) 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析 * 解析　对于A，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,3－x≥0，))解得x∈∅，所以y不是x的函数；对于B，当x>0时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数；对于C，当x＝1时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数；对于D，满足y是x的函数．故选D. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 答案 * 2．(多选)(人教A必修第一册习题3.1 T2改编)下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝eq \r(（x－1）2) B．y＝eq \r(x－1)与y＝eq \f(x－1,\r(x－1)) C．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 D．y＝(eq \r(3,x))3与y＝x 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析 * 解析　对于A，y＝x－1与y＝eq \r(（x－1）2)＝|x－1|的对应关系不同，两函数不是同一个函数；对于B，y＝eq \r(x－1)的定义域为[1，＋∞)，y＝eq \f(x－1,\r(x－1))的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系都相同，是同一个函数；对于D，y＝(eq \r(3,x))3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域、对应关系都相同，两函数是同一个函数．故选CD. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 －7 答案 解析 * 3．(2024·重庆一中月考)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x≤0，,1－x，x＞0，))则f(f(3))的值为________． 解析　根据题意，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x≤0，,1－x，x＞0，))则f(3)＝1－3＝－2，f(f(3))＝f(－2)＝－8＋1＝－7. 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 [－3，0]∪(1，3) (0，＋∞) (0，1)∪(4，＋∞) 答案 * 4．(人教A必修第一册习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是_____________，值域是__________________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是__________________． (注：图中f(x)的图象与直线x＝3无限靠近但无公共点) 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 解析 * 解析　求f(x)的定义域可看f(x)的图象上所有点的横坐标的取值构成的集合，易知为[－3，0]∪(1，3)；求f(x)的值域可看f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值构成的集合，易知为(0，＋∞)；作直线y＝m，可知当m∈(0，1)∪(4，＋∞)时，直线y＝m与f(x)的图象有唯一公共点，所以只有唯一的x值与之对应的y值的范围是(0，1)∪(4，＋∞)． 目录 知识梳理 知识拓展 双基自测 x2－2x，x≥1 答案 解析 * 5．(2023·合肥模拟)若f(eq \r(x)＋1)＝x－1，则f(x)＝________． 解析　令eq \r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1. 核心考向突破 HE XIN KAO XIANG TU PO 目录 考向一 考向二 考向三 (3，4)∪(4，＋∞) 答案 解析 * 多角度探究突破 考向一　函数的定义域 角度 　求具体函数的定义域 例1　(1)(2023·常州一模)函数f(x)＝eq \f(\r(|x－2|－1),log2（x－3）)的定义域为________________． 解析　函数f(x)＝eq \f(\r(|x－2|－1),log2（x－3）)有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－2|－1≥0，,x－3>0，,x－3≠1，))解得x>3且x≠4，故函数f(x)的定义域为(3，4)∪(4，＋∞)． 目录 考向一 考向二 考向三 (－12，0] 答案 解析 * (2)已知函数f(x)＝eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，则实数a的取值范围是________． 解析　因为函数f(x)＝eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－12，0]． 目录 考向一 考向二 考向三 * 1．求具体函数的定义域的策略 根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式(组)，求解不等式(组)即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 目录 考向一 考向二 考向三 * 2．使函数解析式有意义的常见限制条件 (1)分式型eq \f(1,f（x）)要满足f(x)≠0. (2)根式型eq \r(2n,f（x）)(n∈N*)要满足f(x)≥0. (3)幂函数型[f(x)]0要满足f(x)≠0. (4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0. 目录 考向一 考向二 考向三 解析 答案 * (2x－1)INCLUDEPICTURE"即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·江门棠下中学月考)函数f(x)＝＋eq \f(1,\r(9－x2))的定义域为(　　) A．(－3，0]∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．[0，3) D．(0，3) 解析　∵f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,\r(9－x2))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,9－x2>0，))解得0≤x<3，故函数f(x)的定义域为[0，3)．故选C. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 角度 例2　(1)(2023·河南顶级名校模拟)已知函数f(x)＝log2eq \f(1－x,x)，f(x＋1)的定义域为M，f(2x)的定义域为N，则(　　) A．M＝N B．M∩N＝∅ C．M⊆N D．N⊆M 解析　由eq \f(1－x,x)＞0，解得0＜x＜1，所以函数f(x)的定义域是(0，1)．由0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，所以f(x＋1)的定义域M＝{x|－1＜x＜0}，由0＜2x＜1得0＜x＜eq \f(1,2)，所以f(2x)的定义域N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))))，所以M∩N＝∅.故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 [－1，2] 答案 解析 * (2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为________． 解析　因为y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，所以x∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]，x2－1∈[－1，2]，所以函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]． 目录 考向一 考向二 考向三 * 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (f（x＋1）,\r(x－1))INCLUDEPICTURE"即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2023·衡水模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．[1，5] B．(1，2)∪(2，5) C．(1，2)∪(2，3] D．[1，2)∪(2，3] 解析　由题意，函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，即x∈[0，4]，则函数y＝eq \f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤4，,x－1＞0，,x－2≠0，))解得1＜x≤3且x≠2，所以函数y＝eq \f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]．故选C. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 考向二　求函数的解析式 例3　(1)(2023·哈尔滨模拟)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)的解析式为________________． 解析　(换元法)令eq \f(2,x)＋1＝t(t>1)，则x＝eq \f(2,t－1)，所以f(t)＝lg eq \f(2,t－1)(t>1)，所以f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x>1)． f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x>1) 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________________． 解析　(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8，))所以f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8. 2x＋eq \f(8,3)或－2x－8 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq \r(x)－1，则f(x)＝________． 解析　(解方程组法)在f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq \r(x)－1中，将x换成eq \f(1,x)，则eq \f(1,x)换成x，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq \r(\f(1,x))－1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f（x）·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq \f(2,3) eq \r(x)＋eq \f(1,3). eq \f(2,3) eq \r(x)＋eq \f(1,3) 目录 考向一 考向二 考向三 * 目录 考向一 考向二 考向三 f(x)＝x2－x＋3 答案 解析 * 解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))故所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 2．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________． －x＋eq \f(1,4) 解析　由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋3f（－x）＝2x＋1，,f（－x）＋3f（x）＝－2x＋1，))得f(x)＝－x＋eq \f(1,4). 目录 考向一 考向二 考向三 x2－2(x≥2或x≤－2) 答案 解析 * 3．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，则f(x)＝________________． 解析　feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1,x2)))－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)． 目录 考向一 考向二 考向三 * 多角度探究突破 考向三　分段函数 角度 　分段函数求值问题 例4　(2023·衡水中学调研)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,2－x，x<0.)) (1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的解析式． 目录 考向一 考向二 考向三 解 * 解　(1)由已知条件可得g(2)＝1，f(2)＝3， 因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x>0时，g(x)＝x－1， 故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当x<0时，g(x)＝2－x， 故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. 所以f(g(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x>0，,x2－4x＋3，x<0.)) 目录 考向一 考向二 考向三 解 * 当x>1或x<－1时，f(x)>0， 故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2； 当－1<x<1时，f(x)<0， 故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2. 所以g(f(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x>1或x<－1，,3－x2，－1<x<1.)) 目录 考向一 考向二 考向三 * (1)求分段函数的函数值时，要先确定所求值的自变量属于哪一个区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 目录 考向一 考向二 考向三 3 答案 解析 * \lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x，x≤0，,log3x，x>0，))INCLUDEPICTURE"即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·河南省“顶尖计划”第一次考试)已知函数f(x)＝则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))＝________． 解析　因为eq \f(1,3)>0，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝log3eq \f(1,3)＝－1，又－1<0，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))＝f(－1)＝31＝3. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * 角度 例5　(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))若f(f(a))＝2，则a＝(　　) A．0或1 B．－1或1 C．0或－2 D．－2或－1 解析　令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2；当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1.综上所述，a＝－2或a＝－1. 目录 考向一 考向二 考向三 答案 解析 * (2)(2024·苏州常熟中学阶段考试)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0) 解析　根据题意作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象知，满足f(x＋1)<f(2x)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))所以x<0.故选D. 目录 考向一 考向二 考向三 * (1)分类讨论：根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图象直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． 目录 考向一 考向二 考向三 (－∞，－1) 答案 解析 * \lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))INCLUDEPICTURE"即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.设函数f(x)＝若f(a)＞a，则实数a的取值范围是____________． 解析　当a≥0时，f(a)＝eq \f(1,2)a－1，由f(a)＞a，解得a＜－2，矛盾；当a＜0时，f(a)＝eq \f(1,a)，由f(a)＞a，解得a＜－1.所以实数a的取值范围为(－∞，－1)． 目录 考向一 考向二 考向三 －2 答案 解析 * 2．(2023·北京第101中学模拟)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,log2x，x>0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝________；方程f(－x)＝eq \f(1,2)的解是________． －eq \r(2)或1 解析　由解析式知，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝log2eq \f(1,4)＝－2.因为f(－x)＝eq \f(1,2)，所以当－x≤0，即x≥0时，2－x＝eq \f(1,2)，得x＝1，符合题意；当－x>0，即x<0时，log2(－x)＝eq \f(1,2)，得x＝－eq \r(2)，符合题意．所以f(－x)＝eq \f(1,2)的解是－eq \r(2)或1. 课时作业 KE SHI ZUO YE 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 一、单项选择题 1．(2024·广州模拟)设函数y＝eq \r(16－x2)的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　) A．(1，4) B．(1，4] C．[－4，1) D．(－4，1) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　因为函数y＝eq \r(16－x2)的定义域为{x|16－x2≥0}，即A＝{x|－4≤x≤4}，函数y＝ln (1－x)的定义域为{x|1－x>0}，即B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|－4≤x<1}．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 2．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译作：“函数”，沿用至今．为什么这么翻译？书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则：①y＝log2|x|；②y＝x＋1；③y＝2|x|；④y＝x2.其中能构成从M到N的函数的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　在①中，当x＝±1时，y＝log21＝0∉N，故①不能构成从M到N的函数；在②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N，故②不能构成从M到N的函数；在③中，任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故③能构成从M到N的函数；在④中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故④能构成从M到N的函数．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 3．(2023·镇江模拟)若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为(　　) A．[－2，2] B．[－2，4] C．[－4，4] D．[－8，8] 解析　因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤8，,－4≤－x≤8，))解得－4≤x≤4，因此函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4]．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 4．(2023·重庆模拟)已知函数f(1－x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，则f(x)＝(　　) A.eq \f(1,（x－1）2)－1(x≠0) B.eq \f(1,（x－1）2)－1(x≠1) C.eq \f(4,（x－1）2)－1(x≠0) D.eq \f(4,（x－1）2)－1(x≠1) 解析　令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝eq \f(1－（1－t）2,（1－t）2)＝eq \f(1,（t－1）2)－1(t≠1)，所以f(x)＝eq \f(1,（x－1）2)－1(x≠1)．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 解析　二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a－b＝5，))解得a＝3，b＝－2，所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 6．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　) A．2 B.eq \r(2) C．1 D．0 解析　作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋2>0，))即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝eq \r(a＋2)，所以a＝eq \r(a＋2)，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝eq \r(a＋2)，舍去)，所以f(a)＝eq \r(2). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 7．若函数y＝eq \f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋2))的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　要使函数的定义域为R，则ax2－4ax＋2>0恒成立．①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立；②当a≠0时，要使不等式恒成立，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝（－4a）2－4·a·2<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a（2a－1）<0，))解得0<a<eq \f(1,2).由①②得0≤a<eq \f(1,2).故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 8．(2024·宝鸡实验高级中学质检)取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是(　　) A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y≥1 C．∃x∈R，[2x]＝2[x] D．∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y] 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　当x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A为假命题；设[x]＝[y]＝k∈Z，则k≤x<k＋1，k≤y<k＋1，∴x－y<1，故B为假命题；当x＝2时，[2x]＝[4]＝4＝2[2]＝2[x]，故C为真命题；当x＝0.5，y＝0.6时，有[x]＋[y]＝0，但[x＋y]＝[1.1]＝1>[x]＋[y]，故D为假命题． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 二、多项选择题 9．(2024·济宁调研)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x B．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2 C．f(x)＝x0，g(x)＝eq \f(1,x0) D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于C，f(x)＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝eq \f(1,x0)＝1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数；对于D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数．故选CD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 10．下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x 解析　若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．故选ABD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 11．(2024·广元中学月考)具有性质feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数满足“倒负”变换的是(　　) A．y＝x－eq \f(1,x) B．y＝x＋eq \f(1,x) C．y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（0<x<1），,0（x＝1），,－\f(1,x)（x>1）)) D．y＝－x3＋eq \f(1,x3) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　对于A，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于B，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；对于C，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（0<x<1），,0（x＝1），,\f(1,x)（x>1），))满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于D，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－eq \f(1,x3)＋x3，满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足“倒负”变换．故选ACD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 答案 * 三、填空题 12．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 2 3 1 　 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(2)＝2，不满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝2，g(f(3))＝g(1)＝3，不满足f(g(x))>g(f(x))，∴当x＝2时，f(g(x))>g(f(x))成立． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 13．(2024·重庆质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则不等式f(x)<f(x＋1)的解集为____________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) 解析　当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－eq \f(1,2)<x≤0；当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)；当x>1时，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等价于log2x<log2(x＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 14．已知函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))＝3x，则f(－2)＝________． －eq \f(3,4) 解析　由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))＝3x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＝－3x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＝－3x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))＝3x，))令2＋eq \f(1,x)＝－2，可得x＝－eq \f(1,4)，则f(－2)＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－eq \f(3,4). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 * 四、解答题 15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(单位：m)与汽车的车速x(单位：km/h)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y与汽车的车速x的关系图． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 解　(1)由题意及函数图象， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,100)，,n＝0，))所以y＝eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)(x≥0)． (2)令eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70. 因为x≥0，所以0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 * 16．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2). (1)求f(2)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))有什么关系？证明你的发现； (3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2023)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))的值． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 解　(1)∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)＝1－eq \f(1,x2＋1)， ∴f(2)＝1－eq \f(1,22＋1)＝eq \f(4,5)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5). f(3)＝1－eq \f(1,32＋1)＝eq \f(9,10)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1－eq \f(1,\f(1,9)＋1)＝eq \f(1,10). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * (2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1. 证明如下： f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * (3)由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1， ∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1， f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1，…，f(2023)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＝1. ∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2023)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＝2022. 　　　　　　　　　　　　　 R $$