第2章 素能培优(一) 基本不等式的综合应用-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第二章　不等式 素养培优（一）　基本不等式的综合应用 考情分析：基本不等式是高考的高频考点，通常与基本初等函数、解三角形、立体几何、解析几何等知识综合考查，出现在选填题或解答题的解题过程中.2022年新高考Ⅰ卷出现在第18题，考查了用正弦定理边角互化与基本不等式的综合，难度中等；2021年新高考Ⅰ卷出现在第5题，考查了椭圆定义与基本不等式的综合，较容易． 目录 核心考向 HE XIN KAO XIANG 核心考向 HE XIN KAO XIANG 目录 考向一 考向二 考向三 考向四 答案 解析 * 考向一　基本不等式与基本初等函数的综合 例1　(1)(2024·开封模拟)已知a>1，b>1，且log2eq \r(a)＝logb4，则ab的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　因为log2eq \r(a)＝logb4，所以log2a·log2b＝4，所以log2(ab)＝log2a＋log2b≥2eq \r(log2a·log2b)＝4，当且仅当log2a＝log2b＝2，即a＝b＝4时取等号，所以(ab)min＝24＝16.故选C. 目录 考向一 考向二 考向三 考向四 答案 解析 * (2)已知角α，β均为锐角，tanβ＝eq \f(tanα,2)，则当tanα＝________时，tan(α－β)取得最大值________． 解析　设tanβ＝k，则tanα＝2k，由角α，β均为锐角得k>0，tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(k,1＋2k2)＝eq \f(1,\f(1,k)＋2k)≤eq \f(1,2\r(\f(1,k)·2k))＝eq \f(\r(2),4)，当且仅当eq \f(1,k)＝2k，即k＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立，此时tanα＝eq \r(2)，所以当tanα＝eq \r(2)时，tan(α－β)取得最大值eq \f(\r(2),4). eq \r(2) eq \f(\r(2),4) 目录 考向一 考向二 考向三 考向四 * 应用基本不等式求最值的关键点之一是“和或积为定值”，在基本初等函数中常见的与此有联系的点如下： ax·ay＝ax＋y(a＞0，且a≠1)；logax＋logay＝loga(xy)(a＞0，且a≠1)； sin2α＋cos2α＝1，tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)等． 目录 考向一 考向二 考向三 考向四 答案 * A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 目录 考向一 考向二 考向三 考向四 解析 * 解析　当x＝eq \f(1,3)，y＝2时，2eq \s\up7(\f(1,3))＋22≥4，满足2x＋2y≥4，但xy＝eq \f(1,3)×2＝eq \f(2,3)<1，不满足xy≥1，所以p不是q的充分条件；当xy≥1，x>0，y>0时，1≤xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，即x＋y≥2，当且仅当x＝y时取等号，所以2x＋y≥22＝4，即2x·2y≥4，又4≤2x·2y≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2y,2)))eq \s\up12(2)，当且仅当x＝y时取等号，解得2x＋2y≥4，所以p是q的必要条件．所以p是q的必要不充分条件．故选B. 目录 考向一 考向二 考向三 考向四 答案 * 考向二　基本不等式与向量、解三角形的综合 例2　(1)在△ABC中，E为AC上一点，eq \o(AC,\s\up16(→))＝3eq \o(AE,\s\up16(→))，P为BE上任一点，若eq \o(AP,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))＋neq \o(AC,\s\up16(→))(m>0，n>0)，则eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)的最小值是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 目录 考向一 考向二 考向三 考向四 解析 * 解析　由题意可知eq \o(AP,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))＋neq \o(AC,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))＋3neq \o(AE,\s\up16(→))，P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，所以eq \f(3,m