精品解析：浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

北仑中学2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 （全年级+外高班使用） 命题、审题：高一数学备课组 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的　(　　) A. B. C. D. 3. 水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ） A 等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 4. 已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C. D. 5. 蒙古包是蒙古族牧民居住一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥的侧棱上分别有三点E，F，G，且，则三棱锥与的体积之比是（ ） A 6 B. 8 C. 12 D. 24 8. 在锐角中，角对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 的共轭复数为 10. 在△ABC中，，，，则（ ） A. △ABC外接圆面积为定值，且定值为 B. △ABC的面积有最大值，最大值为 C. 若，则 D. 当且仅当或时，△ABC有一解 11. 如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 面积的最大值为 C. D. 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为_________． 13. “天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________． 14. 已知，，，四点都在表面积为的球的表面上，若是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）证明：平面平面； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值． 16. 已知复数，，（，是虚数单位）． （1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值； （3）若，且是实数，求实数的值． 17. 如图，在四面体中，，分别是中点. （1）求证：； （2）在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D. （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北仑中学2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 （全年级+外高班使用） 命题、审题