4.3.1等比数列的性质(2)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024/5/11 4.3.1 等比数列的性质（2） 第四章 数列 1 一、等比数列的判定方法 探究新知 例2.已知数列{an}的首项a1=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列; (2)若{an}为等比数列，公比q=，证明数列{log3an}为等差数列; 二、等比数列的证明 探究新知 二、等比数列的证明 探究新知 思考1：已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等 比数列？ l 证明：∵设等差数列的首项为，公差为，则 . 所以，是以为首项，为公比的等比数列. 思考2：已知且，如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ l 证明：∵设各项均为正的等比数列的首项为，公比为，则 . 所以，是以为首项，为公差的等差数列. 二、等比数列的证明 探究新知 （1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是等比数列. （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 归纳总结 探究新知 练习：设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. 设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； 探究新知 三、等比数列与函数的关系 探究新知 l 已知等比数列{an}，首项为 a1，公比q. 三、等比数列与函数的关系 探究新知 l 已知等比数列{an}，首项为 a1，公比q. 三、等比数列与函数的关系 探究新知 l 已知等比数列{an}，首项为 a1，公比q. 探究新知 四、证明数列单调性的方法 探究新知 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＋1＝4an＋2，　①,Sn＝4an－1＋2n≥2，　②)) 3.单调性 (1)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，{an}是递增数列． (2)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，{an}是递减数列． (3)当q=1时，{an}为常数列． (4)当q<0时，{an}为摆动数列． $$