全等三角形基本模型综合训练（五）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形基本模型探究（北师大版）

全等三角形基本模型综合训练（五） 一、解答题 1．如图，在中，为上任意一点．请分别用截长法和补短法说明：． 2．问题提出：． （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当 时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为 ； 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 3．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 4．如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点D，连接，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题． (1)如图2，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点． ①的度数为______； ②在上截取，连接．求证：； ③请判断FE与FD的数量关系，并说明理由； (2)如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 5．在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：           (1)如图1，爬行过程中，和的数量关系是________； (2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：； (3)如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：． 6．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 7．综合与实践 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究． (1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为： ； (2)拓展应用： 如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标： ； (3)迁移探究： ①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 8．定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．    (1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________； (2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角． 9．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 10．（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：； （2）在中，，，是角平分线，，． ①应用探究如图（2），若，求证