第四章全等三角形辅助线专题练习：手拉手、截长补短、倍长中线2022-2023学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学七年级下学期数学第四章全等三角形辅助线：手拉手、截长补短、倍长中线 一．手拉手全等（共2小题） 1．如图，C为AB上一点，△ACD和△BCE为等边三角形，AE交CD于M，DB交CE于N．求证： （1）AE＝DB； （2）MN∥AB； （3）PC平分∠APB； （4）PC+PE＝PB． 2．△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°． （1）如图1，当边BD恰好在△ABC的BC边上时，连接AD，AC，易证△ABD≌△BCE，从而证明CE⊥AD；（无需证明） （2）如图2，当△ABC和△DBE如图摆放，连接CD、AD、CE，其中AD与CE相交于点F．那么AD与CE的位置关系是否发生变化，请说明理由； （3）如图3，当△ABC和△DBE如图摆放，F为AC的中点，连接AD、CE、FD，并在FD的延长线上取一点G，连结CG，使CG＝CE．求证：∠FDA＝∠CGF． 二．截长补短（共2小题） 3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　 　°； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△　 　； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 4．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE． （1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为 　 　度； （2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积； （3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想． 三．倍长中线（共7小题） 5．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，F为直线AB上一点，连接FC，作BD⊥FC于点D，连接AD，过点A作AE⊥AD交BD于点E． （1）如图1，求证：AD＝AE； （2）如图2，若点H是BD中点，连接AH、CE，求证：CE＝2AH； （3）如图3，当点F运动到线段AB上且不与A、B重合时，连接CE，过点A作AH⊥CE交BD于点H，H为BD中点，猜想CE与AH之间的数量关系并证明． 6．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°． （1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数． （2）如图1，求证：EF＝2AD． （3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论． 7．如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AD上，连接BE，CE，CF，延长CF交BE于点G． （1）若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，则S△ABE＝　 　； （2）若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求证：AE＝EF； （3）如图2，在（2）条件下，点P、M、N分别是△GEF三边上的动点，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，当△PMN的周长最小时，直接写出的值． 8．△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，其中∠BAC＝∠ECF＝90°，AB＝AC，CE＝CF，点G是AC的中点，且B、G、F三点在一条直线上． （1）如图1，点E在线段BC上时，EF交AC与点D，若EF＝4，则CD＝　 　； （2）如图2，点E在△ABC内部时，连接AE，求证AE+GF＝BG； （3）如图3，点E在△ABC外部时，点P是线段BF上的一点，连接AP，EP，若BG＝10，FG＝13，△BAG的面积为20，求当AP+EP最小时，AP+EP的值． 9．如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC． （1）△ABC与△ADE全等吗？请说明理由； （2）若AF⊥CB，垂足为F，请说明线段2CF＝CE； （3）在（2）的基础上，猜想线段BF，DE，CD存在的数量关系，并直接写出结论． 10．如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE． （1）如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共