1.1.2空间向量的数量积运算课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 素养目标•定方向 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA）   1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．(易混点) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．了解投影向量的概念以及投影向量的意义．(难点) 4．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)   1．通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养． 2．借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养． 3．借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 必备知识•探新知 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 空间向量的夹角 知识点 1 ∠AOB 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 2．夹角的范围 同向共线 π 垂直 a⊥b 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 思考1：对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉，〈－a，－b〉有怎样的关系？ 提示：〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉． 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 做一做：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， π 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 空间向量的数量积 知识点 2 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝_____________________ 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 性质 ①a⊥b⇔______________ ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R ②a·b＝b·a(交换律) ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律) |a||b|cos〈a，b〉 a·b＝0 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 思考2：若a，b，c为实数，则(a·b)·c＝a·(b·c)．是否可以由此类比得出，对于向量a，b，c，满足(a·b)·c＝a·(b·c)? 提示：数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 4 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 向量a的投影 知识点 3 1.向量a向向量b的投影 如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得 到与向量b共线的向量c，c＝_______________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 2．向量a向平面β投影 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．( 　　) (2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直．( 　　) (3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉．( 　　) × √ √ 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 1．(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( 　　) 题型探究 题型一 求空间向量的数量积 D A 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） [规律方法]　求空间向量的数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入公式a·b＝|a||b|cos a，b求解． 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） (1