8.2 一元线性回归模型及其应用-2023-2024学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2：一元线性回归模型及其应用 【考点梳理】 考点一：散点图相关问题 考点二：样本中心问题 考点三：回归方程的问题 考点四：最小乘二法和统计的综合 【知识梳理】 知识点一：一元线性回归模型 称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二：最小二乘法 将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中 ，＝－. 知识点三：残差与残差分析 1．残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四：对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 2．残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好． 3．R2法：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． 【题型归纳】 题型一：散点图相关问题 1．（23-24高二下·北京·期中）某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法不正确的是（    ） A．气压与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 2．（21-22高二下·河南信阳·期末）如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南驻马店）有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（    ） A． B． C． D． 题型二：样本中心问题 4．（23-24高二下·江西赣州·期中）给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（    ） A．1 B．1.1 C．0.9 D．1.15 5．（23-24高二下·山西运城·期中）已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（    ） 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A．11 B．12 C．12.5 D．13 6．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（    ） A． B． C． D． 题型三：回归方程的问题 7．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数 B．线性回归方程中 C．当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.24个单位 D．可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只） 8．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（   ） A． B． C．35 D．21 9．（2023·四川南充·一模）某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（    ） 时间x（月） 1 2 3 4 5 销售量y（万件） 1 1.6 2.0 a 3 A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件 B．表中数据的样本中心点为 C． D．由表中数据可知，y和x成正相关 题型四：最小乘二法和统计的综合 10．（2024·全国·模拟预测）20世纪80年代初，随着我国的改革开放，经济体制和经营体制逐渐灵活，市场上的商品日益丰富，城市和农村出现小卖部．小卖部主营生活日用商品，有着经营成本小、规模小、商品种类少、分布广等特点．近几年，市场商品极大的丰富，人们的生活水平达到了新的高度