卷7 第二十三章 旋转 提优验收卷(B卷)-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 第二十三章提优验收卷(B卷) 考查内容：旋转 卷⑦ 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 一、选择题 1. [2024湖北恩施州期末]下面选项中的图案可以通过旋转图案①得到的是(　A　) A B C D 【解析】根据旋转的性质，选项A中的图案可以由图案①顺时针旋转90°得到， 故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 2. [2023湖南长沙一模]已知点 A ( a ，1)与点 B (5， b )关于原点对称，则 a ， b 的值 分别是(　D　) A. a ＝1， b ＝5 B. a ＝5， b ＝1 C. a ＝－5， b ＝1 D. a ＝－5， b ＝－1 【解析】由题意，得 a ＝－5， b ＝－1，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 3. [2024北京丰台区期末]以下图形绕点 O 旋转一定角度后都能与原图形重合，其中 旋转角最小的是(　D　) A B C D 【解析】A选项，最小旋转角度为 ＝120°；B选项，最小旋转角度为 ＝ 90°；C选项，最小旋转角度为 ＝72°；D选项，最小旋转角度为 ＝60°.故 选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 4. [2024北京通州区期中]如图，在△ OAB 中，∠1＝∠2，将△ OAB 绕点 O 顺时针旋 转180°，点 A 的对应点记为 C ，点 B 的对应点记为 D ，连接 BC ， DA 得到四边形 ABCD ，则所得到的四边形 ABCD 为(　B　) A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 (第4题图) B 【解析】如图，由∠1＝∠2及旋转的性质得 OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ，即 AC ＝ BD ， 故四边形 ABCD 为矩形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 5. [2024湖北十堰期末]如图，在Rt△ ABC 中，∠ CAB ＝40°，将Rt△ ABC 绕点 A 顺 时针旋转至Rt△AB'C'处，连接BB'，若点C'在斜边 AB 上，则∠BB'C'的度数为 (　C　) A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° (第5题图) C 【解析】∵将Rt△ ABC 绕点 A 顺时针旋转至Rt△ AB ' C '处，∴∠ B ' AB ＝∠ CAB ＝40°， AB ＝ AB '，∠ B ' C ' A ＝90°，∴∠ ABB '＝∠ AB ' B ＝ ＝70°，∴∠ BB ' C '＝90°－∠ ABB '＝20°，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 6. [2024河北廊坊期末]如图，平面直角坐标系中，已知点 A (－1，0)，点 P (－3， 2)，则点 P 关于点 A 的对称点的坐标为(　D　) A. (3，－2) B. (1，2) C. (－3，－2) D. (1，－2) (第6题图) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】 上分警示　平面直角坐标系中点之间的关系 注意图中点 B 和点 C 是关于点 A 对称的，而不是关于原点对称，不要混淆导致得到 错误的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 7. [2024河南平顶山期中]如图是一张正方形网格纸，图中4条线段的端点都在网格纸 的格点上，对于这4条线段之间变换的描述不正确的是(　C　) A. 线段 CD 可以由线段 AB 平移得到 B. 线段 EF 可以由线段 AB 先旋转再平移得到 C. 线段 GH 可以由线段 AB 先旋转再平移得到 D. 线段 GH 不能通过线段 EF 平移和旋转变换得到 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】由题图可知， AB ＝ ＝ ， CD ＝ ＝ ， EF ＝ ＝ ， GH ＝6.A选项，线段 CD 可以由线段 AB 平移得到，说法正确，不 符合题意；B选项，线段 EF 可以由线段 AB 先旋转再平移得到，说法正确，不符合 题意；C选项，线段 GH 和线段 AB 的长度不同，线段 GH 不可以由线段 AB 先旋转再 平移得到，说法错误，符合题意；D选项，线段 GH 和线段 EF 的长度不同，线段 GH 不能通过线段 EF 平移和旋转变换得到，说法正确，不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 8. [2024云南昆明期中]如图，把四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转得到四边形 DFOE ，则下列角中，不是旋转角的是(　B　) A. ∠ BOF B. ∠ AOF C. ∠ COE D. ∠ AOD 【解析】由题图可知，点 B 与点 F 、点 A 与点 D 、点 C 与点 E 是对应点，∴旋转角 可以是∠ BOF ，∠ AOD ，∠ COE ，故选B. B 上分技巧　寻找旋转角 如果旋转前后图形的迷惑性较强，不好辨认旋转角，可先找对应点或对应边，再找 旋转角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 9. [2024辽宁抚顺新抚区期中]第二十三章所学的旋转是初中几何重要的图形变换之 一，其中把某个图形旋转一个特殊角是解决某类几何问题的重要手段，请根据这种 解题思想解决问题.如图，在等腰Rt△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E 是斜边 BC 上两 点，且∠ DAE ＝45°，若 BD ＝6， CE ＝8，则△ ABD 与△ ACE 的面积之和为 (　A　) A. 84 B. 90 C. 110 D. 120 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】在Rt△ ABC 中， AB ＝ AC ，∴∠ C ＝∠ ABC ＝45°.如图，将△ AEC 按顺时 针方向旋转90°至△ AFB ，过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H ，连接 DF . 根据旋转的性质可得△ AEC ≌△ AFB ，∴∠ ABF ＝∠ ACD ＝45°，∠ BAF ＝∠ CAE ， AE ＝ AF ， BF ＝ CE ，∴∠ FBE ＝45°＋45°＝90°，∴ BD2＋ BF2＝ DF2.∵∠ DAE ＝45°，∴∠ BAD ＋∠ CAE ＝45°，∴∠ BAD ＋∠ BAF ＝45°，∴∠ DAE ＝∠ DAF . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ DAE ≌△ DAF (SAS)，∴ DE ＝ DF ，∴ BD2＋ BF2＝ DE2.∵ BD ＝6， CE ＝ BF ＝8，∴ DE ＝10，∴ BC ＝ BD ＋ DE ＋ CE ＝24.∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝90°， AH ⊥ BC ，∴ AH ＝ BH ＝ CH ＝ BC ＝12，∴△ ABD 与△ AEC 的面积之和为 × BD × AH ＋ × CE × AH ＝ ×(6＋8)×12＝84，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 10. 规律探索[2024山东济南历下区期末]如图，在平面直角坐标系中， A (1，3)， B (1，1)， C (2，1)，将△ ABC 向左平移2个单位长度，得到△ A1 B1 C1；作△ A1 B1 C1 关于原点中心对称的三角形，得到△ A2 B2 C2；将△ A2 B2 C2向右平移2个单位长度， 得到△ A3 B3 C3；作△ A3 B3 C3关于原点中心对称的三角形，得到△ A4 B4 C4；将△ A4 B4 C4向左平移2个单位长度，得到△ A5 B5 C5，….若按照此规律作图形的变换，则 A2 023的坐标为(　B　) A. (2 023，3) B. (2 023，－3) C. (－2 023，3) D. (－2 023，－3) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】由题意可知， A1(－1，3)， A2(1，－3)， A3(3，－3)， A4(－3，3)， A5(－5，3)， A6(5，－3)， A7(7，－3)， A8(－7，3)， A9(－9，3)， A10(9，－ 3)， A11(11，－3)， A12(－11，3)，…，∴ An 的纵坐标以3，－3，－3，3为一个周 期依次循环.又∵ A3(3，－3)， A7(7，－3)， A11(11，－3)，∴ (4 n ＋3，－ 3).∵4×505＋3＝2 023，∴ A2 023的坐标为(2 023，－3).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 二、填空题 11. 新考法[2024山东烟台期末]小明对小亮说：“你在这4张扑克牌中任意抽取一 张，将其旋转180°后放回原处，我能猜出你旋转的是哪一张.”小亮在小明不看的情 况下，抽取一张旋转后放回原处(如图).小明很快猜出了被旋转的是哪张扑克牌，则 小亮旋转的那张扑克牌的牌面数字是 ⁠. 　　 【解析】红桃5，方块7，黑桃9都不是中心对称图形，旋转后都会有变化，梅花10 是中心对称图形，旋转后没有变化，∴小亮旋转的那张扑克牌的牌面数字是10，故 答案为10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 12. [2024湖南长沙期中]如图所示的图案由三个叶片组成，绕点 O 旋转120°后可以和 自身重合(不考虑阴影及射线 OA ， OB )，若每个叶片的面积为4 cm2，∠ AOB ＝ 120°，则图中阴影部分的面积为 ⁠. (第12题图) 4 cm2 【解析】∵每个叶片的面积为4 cm2，∴整个图形的面积是12 cm2.∵图案绕点 O 旋转 120°后可以和自身重合，∠ AOB ＝120°，∴题图中阴影部分的面积是整个图形的面 积的 ，∴题图中阴影部分的面积之和为4 cm2.故答案为4 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 13. [2024山东潍坊期末]如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成， 若要在①②③④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影 部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处.(填写 区域对应的序号) (第13题图) 【解析】把正方形添加在②处，则它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，故 答案为②. ② 上分警示　轴对称与中心对称 添在④处时，新图形为轴对称图形，而非中心对称图形，不要混淆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 14. [2024黑龙江哈尔滨香坊区期末]如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，将△ ABC 绕 着点 A 逆时针旋转，得到△ ADE ，此时点 C 恰好在 ED 的延长线上，若 AC ＝3， CE ＝2，则 AB 的长为 ⁠. (第14题图) 2 【解析】∵△ ABC 绕着点 A 逆时针旋转，得到△ ADE ，∴ AC ＝ AE ， AD ＝ AB ， ∠ ADE ＝∠ ABC ＝90°，∴ CD ＝ CE . ∵ AC ＝3， CE ＝2，∴ AB ＝ AD ＝ ＝ ＝2 ，故答案为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 15. [2024湖北武汉期中]如图，△ ABC 中，∠ B ＝60°，将△ ABC 沿射线 BC 的方向 平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点 C 重合，则旋转角为 ⁠°. (第15题图) 【解析】由题意得∠A'B'C＝60°， AB ＝A'B'＝A'C，∴△A'B'C是等边三角形， ∴∠B'A'C＝60°，∴旋转角为60°.故答案为60. 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分技巧　旋转与等边三角形的结合 旋转前后对应边相等，根据等边三角形的判定得到△A'B'C是等边三角形，进 而解题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 16. 分类讨论[2024河南南阳期末]如图，在正方形 ABCD 中，将线段 AD 绕点 A 逆时 针旋转α(0°＜α＜180°)得到线段AD'，连接BD'，CD'.若△D'BC是等腰三角形，则α ＝ ⁠. 30°或60°或150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】当 D ' B ＝ BC 时，如图(1)或图(2).如图(1)，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ DAB ＝90°， AB ＝ BC ＝ AD . 由旋转的性质得 AD '＝ AD ＝ AB ＝ BC ＝ DB '， ∴△ ABD '是等边三角形，∴∠ BAD '＝60°，∴∠ DAD '＝30°，即α＝30°.如图(2)， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ DAB ＝90°， AB ＝ BC ＝ AD . 由旋转的性质得 AD ' ＝ AD ＝ AB ＝ BC ＝ D ' B ，∴△ ABD '是等边三角形，∴∠ BAD '＝60°，∴∠ DAD ' ＝150°，即α＝150°.当 D ' B ＝ D ' C 时，如图(3)，连接 DD '，则 D '在线段 BC 的垂直 平分线上，即 D '在线段 AD 的垂直平分线上，∴ D ' D ＝ AD '.由旋转的性质得 AD '＝ AD ＝ DD '，∴△ ADD '是等边三角形，∴∠ DAD '＝60°，即α＝60°.当 CD '＝ BC ＝ AD 时，此种情况不存在. 综上所述，α的值为30°或60°或150°，故答案为30°或60°或150°. 　　 　　 【上分攻略】结果要写全，只写出一个或两个度数不得分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 三、解答题 17. [2024湖北武汉洪山区期中](8分)如图，在11×6的正方形网格中，我们把每个小 正方形的顶点称为格点，△ ABC 的顶点均在格点上.请你用一把无刻度直尺完成作 图，不用写作法，保留作图痕迹. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)以 C 为旋转中心，将线段 CA 逆时针旋转90°至线段 CD ，连接 AD . 【解】(1)如图，线段 CD ， AD 即为所求. (2分) 【思路分析】(1)根据旋转变换的性质作出点 A 的对应点 D 即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)作 CE ⊥ AD 于 E . 【解】(2)如图，线段 CE 即为所求. (5分) 【思路分析】(2)取格点 P ， Q ，连接 PQ 交 AD 于点 E ，连接 CE ，线段 CE 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)将△ BCA 绕 C 点顺时针旋转至△ B ' CA '，旋转角度等于∠ BAC . 【解】(3)如图，△B'CA'即为所求. (8分) 【思路分析】(3)取格点A'，使得∠ACA'＝∠ BAC ，CA'的长度等于小正方形边长的 5倍，取格点 M ，作射线 CM ，使得∠ BCM ＝∠ BAC ，取格点 N ，连接A'N交 CM 于 点B'，使得∠CA'N＝∠ BAC ，则△CA'B'即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 18. [2024辽宁丹东期末](10分)如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别 是 A (0，1)， B (1，3)， C (4，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)将△ ABC 平移得到△ A1 B1 C1，且 C1的坐标是(0，－1)，请在图中画出△ A1 B1 C1. 【解】(1)如图所示，△ A1 B1 C1即为所求. (3分) 【关键点拨】(1)根据 C1的坐标是(0，－1)，得到平移的方向和距离，即可画出△ A1 B1 C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转90°得到△ AB2 C2，请在图中画出△ AB2 C2. 【解】(2)如图所示，△ AB2 C2即为所求. (6分) 【关键点拨】(2)根据旋转的性质即可画出△ AB2 C2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)小娟发现△ A1 B1 C1绕点 P 旋转也可以得到△ AB2 C2，请在图中画出点 P 的位 置，并写出点 P 的坐标. (3)如图所示，点 P 即为所求，点 P 的坐标为(－4，1). (10分) 【关键点拨】(3)连接两对对应点，分别作这两条连线的垂直平分线，其交点 P 即为 所求，进而得出坐标. 【上分攻略】辅助线用虚线，题中要求画的图形用实线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 19. [2024河南周口期末](10分)如图，在△ ABC 中，点 D 是 AB 边上的中点，已知 AC ＝4， BC ＝6， (1)画出△ BCD 关于点 D 中心对称的图形. 【解】(1)如图所示，△ BCD 关于点 D 中心对称的图形△ AED 即为所求. (4分) 【上分攻略】(1)题目要求画的图形一般用实线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)根据图形说明线段 CD 长的取值范围. 【解】(2)由题意可知△ ADE ≌△ BDC ，则 CD ＝ DE ， AE ＝ BC ，∴ AE － AC ＜2 CD ＜ AE ＋ AC ，即 BC － AC ＜2 CD ＜ BC ＋ AC . ∵ AC ＝4， BC ＝6，∴2＜2 CD ＜10，解得1＜ CD ＜5. (10分) 【关键点拨】解答第(2)问的关键是通过△ ADE ≌△ BDC 得到 CD ＝ DE ， AE ＝ BC ，然后利用三角形的三边关系求出线段 CD 长的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 20. [2024天津河东区期末](12分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ AOB 是等边三 角形，点 A 的坐标是(0，3)，点 B 在第一象限，∠ OAB 的平分线交 x 轴于点 P ，把 △ AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合，得到△ ABD ，连接 DP . 求 DP 的长及点 D 的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解】∵△ AOB 是等边三角形，∴∠ OAB ＝60°.∵△ AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋 转，使边 AO 与 AB 重合，∴∠ OAB ＝∠ PAD ＝60°， AD ＝ AP ，∴△ ADP 是等边三 角形. (5分) ∵点 A 的坐标是(0，3)，∠ OAB 的平分线交 x 轴于点 P ，∴∠ OAP ＝30°，∴ AP ＝ 2 OP ，∴32＋ OP2＝(2 OP )2，∴ OP ＝ ，∴ AP ＝2 ，∴ DP ＝ DA ＝ AP ＝2 . (9分) ∵∠ OAP ＝30°，∠ PAD ＝60°，∴∠ OAD ＝30°＋60°＝90°，∴点 D 的坐标为(2 ，3). (12分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】根据等边三角形的每一个内角都是60°可得∠ OAB ＝60°，然后根据旋 转的性质求出∠ PAD ＝60°， AD ＝ AP ，根据∠ OAB 的平分线交 x 轴于点 P ，得∠ OAP ＝30°，进而求出 AP ＝ DA ＝2 ，再求出∠ OAD ＝90°，即可得出 DP 的长及 点 D 的坐标. 【上分攻略】点 D 在第一象限，因此横、纵坐标都是正数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 21. [2024广东广州越秀区期中](12分)如图，将矩形 ABCD 绕着点 C 按顺时针方向旋 转得到矩形 FECG ，使点 B 落在 AD 边上的点 E 处，连接 BG 交 CE 于点 H ，连接 BE . (1)求证： EB 平分∠ AEC . 【证明】(1)∵矩形 ABCD 绕着点 C 按顺时针方向旋转得到矩形 FECG ，∴ CB ＝ CE ，∴∠ EBC ＝∠ BEC . 又∵ AD ∥ BC ，∴∠ EBC ＝∠ BEA ，∴∠ BEA ＝∠ BEC ，∴ EB 平分∠ AEC . (4分) 【思路分析】(1)根据旋转的性质得到 CB ＝ CE ，则∠ EBC ＝∠ BEC ，根据平行线 的性质得到∠ EBC ＝∠ BEA ，即可得到结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)取 BC 中点 P ，连接 PH ，求证： PH ∥ CG . 【证明】(2)过点 B 作 CE 的垂线 BQ ，如图. (5分) 由矩形和旋转的性质得 AB ＝ CD ＝ CG . ∵ EB 平分∠ AEC ， BA ⊥ AE ， BQ ⊥ CE ，∴ AB ＝ BQ ，∴ CG ＝ BQ . ∵∠ BQH ＝ ∠ GCH ＝90°， BQ ＝ CG ，∠ BHQ ＝∠ GHC ，∴△ BHQ ≌△ GHC (AAS)， (9分) ∴ BH ＝ GH ，即点 H 是 BG 中点.又∵点 P 是 BC 中点，∴ PH 为△ CBG 的中位线， ∴ PH ∥ CG . (12分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(2)过点 B 作 CE 的垂线 BQ ，根据角平分线的性质得到 AB ＝ BQ ，求 得 CG ＝ BQ ，根据全等三角形的判定及性质得到 BH ＝ GH ，根据三角形的中位线 定理即可得到结论. 【上分攻略】(2)在图中作出辅助线并描述辅助线的作法，否则会扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 22. 探究性问题 [2024湖南衡阳期末](14分)两个三角板如图(1)摆放，∠ C ＝∠ DFE ＝90°，∠ B ＝30°，∠ E ＝45°，点 F 在 BC 上，点 A 在 DF 上，且 AF 平分∠ CAB ， 现将三角板 DFE 绕点 F 以每秒5°的速度顺时针旋转(当点 D 落在射线 FB 上时停止旋 转)，在旋转过程中， DF 与 AB 的交点记为 P ，设旋转时间为 t 秒. 【发现】(1)当 t ＝ 时， DE ∥ AB ；当 t ＝ 时， DE ⊥ AB . 3 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解】(1)如图(1)，当 DE ∥ AB 时，∠ EDF ＝∠ BPF ＝45°.∵ AF 平分∠ BAC ，∠ BAC ＝60°，∴∠ BAF ＝30°.又∵∠ BPF 为△ APF 的一个外角，∴∠ PFA ＝∠ BPF －∠ BAF ＝45°－30°＝15°，∴ t ＝ ＝3. 如图(2)，当 DE ⊥ AB 时，∠ DPB ＝180°－90°－45°＝45°，∴∠ APF ＝∠ DPB ＝ 45°.∵∠ BAF ＝30°，∴∠ AFP ＝180°－∠ APF －∠ BAF ＝180°－45°－30°＝105°， ∴ t ＝ ＝21.故答案为3，21. (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(1)根据 DE ∥ AB ， DE ⊥ AB 分别求出旋转角，结合旋转速度求出旋 转时间； 【上分攻略】(1)按题中要求分别进行讨论，找准与所求有关的角度.每空2分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【探究】(2)如图(2)，在旋转过程中，若△ AFP 有两个内角相等，求 t 的值. 【解】(2)①如图(3)，当∠ PAF ＝∠ PFA 时，∵∠ PAF ＝30°，∴∠ PFA ＝30°，∴ t ＝6； (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ②如图(4)，当∠ PFA ＝∠ APF 时，∵∠ PAF ＝30°，∠ PAF ＋∠ PFA ＋∠ APF ＝ 180°， ∴∠ AFP ＝ (180°－30°)＝75°，∴ t ＝15； (6分) ③如图(5)，当∠ PAF ＝∠ APF 时，∠ AFP ＝180°－∠ PAF －∠ APF ＝180°－30°－30°＝120°，∴ t ＝24. 综上所述，当 t 为6或15或24时，△ AFP 有两个内角相等. (8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(2)画出图形，分三种情况：①∠ PAF ＝∠ PFA ；②∠ PFA ＝∠ APF ；③∠ PAF ＝∠ APF ，分别求出旋转角，再求出 t 值； 【上分攻略】(2)令△ AFP 每两个内角分别相等，分情况讨论即可.三种情况都要写 出具体过程，不能省略，否则扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【拓展】(3)当边 DE 与边 AB ， BC 分别交于点 M ， N 时，如图(3)，连接 AE ，设∠ BAE ＝ x °，∠ AED ＝ y °，∠ DFB ＝ z °，试问 x ＋ y ＋ z 是否为定值？若是，请求出 该定值；若不是，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解】(3) x ＋ y ＋ z 是定值. (12分) ∵∠ BMN 是△ AME 的一个外角，∠ MNB 是△ DFN 的一个外角，∴∠ BMN ＝∠ BAE ＋∠ AED ＝ x °＋ y °，∠ MNB ＝∠ DFB ＋∠ D ＝ z °＋45°. 又∵∠ BMN ＋∠ MNB ＋∠ B ＝180°，∠ B ＝30°，∴ x °＋ y °＋ z °＋45°＋30°＝ 180°，∴ x °＋ y °＋ z °＝105°，∴ x ＋ y ＋ z ＝105. (14分) 【思路分析】(3)利用三角形外角的性质及三角形内角和定理找出与∠ BAE ，∠ AED ，∠ DFB 有关的数量关系，即可得出结论. 【上分攻略】(3)一定要先写出是否为定值，否则可能扣分.定值为多少可以先不 写，最后回答. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 $$