卷6 第二十三章 旋转 基础诊断卷(A卷)-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 第二十三章基础诊断卷(A卷) 考查内容：旋转 卷⑥ 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 一、选择题 1. [2024云南昭通昭阳区期末]下列现象中是旋转的是(　D　) A. 雪橇在雪地上滑行 B. 推拉抽屉时抽屉的运动 C. 电梯的上下移动 D. 汽车方向盘的转动 【解析】A选项，雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项错误；B选项，推拉抽屉时 抽屉的运动是平移，故此选项错误；C选项，电梯的上下移动是平移，故此选项错 误；D选项，汽车方向盘的转动是旋转，故此选项正确.故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 2. [2024甘肃陇南期中]剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一.下列剪纸图案中，既 是轴对称图形又是中心对称图形的是(　D　) A B C D 【解析】A选项，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题 意；B选项，该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题 意；C选项，该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D选 项，该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意.故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 3. [2024湖南长沙望城区期末]在平面直角坐标系中，已知点 A (2，－1)和点 B (－ 2，1)，则 A ， B 两点(　C　) A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 y ＝－ x 对称 【解析】因为点 A (2，－1)和点 B (－2，1)的横坐标和纵坐标均互为相反数，所以 A ， B 两点关于原点对称.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 4. [2024河北石家庄新华区期末]如图，三角形乙是由三角形甲经过旋转变换得到 的，则下列说法正确的是(　B　) A. 绕点 P 逆时针旋转60° B. 绕点 N 逆时针旋转90° C. 绕点 Q 顺时针旋转180° D. 绕点 M 顺时针旋转180° 【解析】如图.由图可知，三角形乙是由三角形甲绕点 N 逆时针旋转90°得到的，故 说法正确的是B选项，故选B. B 上分技巧　旋转中心的确定 先找出对应点和对应边，再确定旋转中心，注意不要弄错旋转方向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 5. [2024浙江余姚期中]浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用 自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用，其中，海上风电产业具有技 术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶 片图案绕中心旋转 n °后能与原图案重合，则 n 可以取(　C　) A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 【解析】∵360°÷3＝120°，∴ n ＝120，故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 6. [2024湖北武汉黄陂区期中]如图，点 A ， B 分别是两个半圆的圆心，则该图案的 对称中心是(　C　) A. 点 A B. 点 B C. 线段 AB 的中点 D. 无法确定 【解析】把任意两组对应点连线，连线的交点即为对称中心.题图的对称中心是线段 AB 的中点，故选C. C 上分心得　对称中心的性质 成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 7. 新情境[2024湖南株洲期末]在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又 出现一个图形正在向下运动，为了使所有图案消失，必须进行以下哪项操作，才能 拼成一个完整图案，使其自动消失(　A　) A. 顺时针旋转90°，向右平移至边界 B. 逆时针旋转90°，向右平移至边界 C. 顺时针旋转90°，向左平移至边界 D. 逆时针旋转90°，向左平移至边界 【解析】观察题图可知，出现的图形需顺时针旋转90°，向右平移至边界.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 8. [2024山西晋阳期末]如果齿轮 A 以逆时针方向旋转，则齿轮 E 旋转的方向为 (　B　) A. 顺时针 B. 逆时针 C. 顺时针或逆时针 D. 不能确定 【解析】齿轮 A 以逆时针方向旋转，则齿轮 B 以顺时针方向旋转，齿轮 C 以逆时针 方向旋转，齿轮 D 以顺时针方向旋转，齿轮 E 以逆时针方向旋转，故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 9. [2024北京丰台区期中]两块完全相同的含30°角的直角三角板 ABC 和直角三角板 A'B'C'重合在一起(如图(1))，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α(0°＜ α≤90°)，如图(2)所示.以下结论正确的是(　D　) 　　 D ①当α＝30°时，A'C与 AB 的交点恰好为 AB 中点； ②当α＝60°时，A'B'恰好经过点 B ； ③连接AA'，BB'，在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】∵两块完全相同的含30°角的直角三角板 ABC 和直角三角板 A ' B ' C '重合在 一起，∴ AC ＝ A ' C ， BC ＝ B ' C . ①当α＝30°时，∠ A ' CB ＝90°－30°＝60°，∴以 A ' C 与 AB 的交点， B ， C 为顶点的三角形是等边三角形，∴ A ' C 与 AB 的交点为 AB 的中点，故①正确.②当α＝60°时，∠ B ' CB ＝60°，∴以 A ' B '与 BC 的交点(设为点 E )， B '， C 为顶点的三角形是等边三角形，∴ B ' C ＝ CE . 又∵ B ' C ＝ BC ，∴点 E 与点 B 重合，∴ A ' B '恰好经过点 B ，故②正确.③延长 B ' B ， AA '交于一点.∵∠ CAA '＝∠ CBB '＝ ，∴ AA '与 BB '的夹角为360°－ ×2－(90°＋α) ＝90°，∴在旋转过程中，始终存在 AA '⊥ BB '，故③正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 10. [2024陕西西安期末]如图，用两个全等且边长为4的等边△ ABC 和等边△ ACD 拼 成菱形 ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠放，使三角尺的60°角的顶点 与点 A 重合，两边分别与 AB ， AC 重合，将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转，三角 尺的短直角边与射线 BC 交于点 E ，斜边与射线 CD 交于点 F ，在转动过程中，当△ AEC 的面积是2 时， CF 的长为(　B　) A. 2或4 B. 2或6 C. 4或6 D. 0或8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如题图，∵∠ BAE ＋∠ EAC ＝∠ CAF ＋∠ EAC ＝60°，∴∠ BAE ＝∠ CAF . ∵ AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ ACF ＝60°，∴△ ABE ≌△ ACF (ASA)，∴ BE ＝ CF . ∵△ AEC 的边 CE 上的高为等边△ ABC 的边 BC 上的高， AB ＝ BC ＝4，∴边 CE 上 的高为2 .又∵△ AEC 的面积是2 ，∴ × CE ×2 ＝2 ，∴ CE ＝2，∴ CF ＝ BE ＝2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 如图，∵∠ CAE ＋∠ EAD ＝∠ FAD ＋∠ DAE ＝60°，∴∠ CAE ＝∠ DAF . ∵∠ BCA ＝∠ ADC ＝60°，∴∠ ACE ＝∠ ADF ＝120°.在△ ACE 和△ ADF 中， ∴△ ACE ≌△ ADF (ASA)，∴ CE ＝ DF ，∴ BE ＝ CF . ∵△ AEC 的边 CE 上的高为等边△ ABC 的边 BC 上的高，△ AEC 的面积是2 ，∴ × CE ×2 ＝2 ，∴ CE ＝2，∴ CF ＝ BE ＝6.∴ CF ＝6或2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 二、填空题 11. [2024福建泉州丰泽区期末]线段是中心对称图形，对称中心是 ⁠. 【解析】线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点，故答案为线段的中点. 线段的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 12. [2024上海徐汇区期末]如图是长为6，宽为3的矩形 ABCD ，阴影部分的面积 为 ⁠. (第12题图) 【解析】因为 O 为矩形的对称中心，所以阴影部分的面积是矩形面积的一半.因为矩 形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9.故答案为9. 9 上分点拨　阴影部分的面积 当阴影部分的面积不易直接利用面积公式求解时，可以利用割补法转化为求规则图 形的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 13. [2024吉林白城期末]如图，将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转60°得到△ AED ，连接 BE . 若线段 AB ＝3，则△ ABE 的周长等于 ⁠. (第13题图) 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 14. [2024江苏南通期末]如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (－4，3)，将 OA 绕 坐标原点 O 顺时针旋转90°至OA'，则点A'的坐标是 ⁠. (第14题图) (3，4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 15. [2024山东烟台期末]如图，在2×2的正方形网格纸中，有一个以格点为顶点的△ ABC ，则格纸中所有与△ ABC 成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有 ⁠ 个.(不包括△ ABC 本身) (第15题图) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，①△ AGC 与△ ABC 关于点 I 中心对称；②△ DFG 与△ ABC 关于点 O 中心对称. 故答案为2. (第15题) 【上分攻略】题中强调了“不包括△ ABC 本身”，因此填“3”是错的，不得分. (第15题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 16. [2024江西上饶期末]如图，在正方形 ABCD 中，将边 BC 绕点 B 逆时针旋转至 BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°， AB ＝ ，则线段C'D的长度为 ⁠. (第16题图) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】过点 B 作 BE ⊥ CC '于点 E ，如图所示.∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°，∴∠ BCE ＋∠ C ' CD ＝90°.∵∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°，∴∠ C ' CD ＝∠ CBE . 又∵∠ BEC ＝∠ CC ' D ＝90°， ∴在△ BCE 和△ CDC '中， ∴△ BCE ≌△ CDC '(AAS)，∴ CE ＝ C ' D . ∵将边 BC 绕点 B 逆时针旋转至 BC '， ∴ BC ＝ BC '＝ CD ＝ AB ＝ .又∵ BE ⊥ CC '，∴ CE ＝ C ' E ＝ C ' D . ∵在Rt△ CC ' D 中， C ' D2＋ C ' C2＝ CD2，∴5 C ' D2＝5，∴ C ' D ＝1(负值已舍去)，故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 三、解答题 17. [2024陕西咸阳期末](8分)如图，▱ ABCD 中，点 E ， F ， G ， H 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 中点，请用三种不同的方法，通过适当连线，找出▱ ABCD 的对称 中心点 P . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解】三种方法如图所示，点 P 即为所求.(答案不唯一) 　 (8分) 【关键点拨】找出对称点是解决本题的关键，任意两组对称点连线的交点即为对称 中心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 18. (10分)如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，拼成一 个新图形. (1)所拼成的新图形是轴对称图形，但不是中心对称图形. 【解】(1)如图(1)即为所求(图形不唯一). (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)所拼成的新图形既是轴对称图形，又是中心对称图形. (请将两个小题依次作答在图(1)、图(2)中，均只需画出符合条件的一种情形，内 部涂上阴影) 【解】(2)如图(2)即为所求(图形不唯一). (10分) 【上分攻略】两个小题的图不要画反，(1)的图画在图(1)，(2)的图画在图(2)，否 则不得分. 【关键点拨】解决本题的关键是掌握轴对称和中心对称的定义，注意画好之后进行 检查，看是否符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 19. [2024江西上饶期中](10分)如图， D 是△ ABC 边 BC 的中点，连接 AD 并延长到 点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE . (1)直接写出图中哪两个图形成中心对称？ 【解】(1)题图中△ ADC 和△ EDB 成中心对称. (4分) 【思路分析】(1)直接利用中心对称的定义即可得出答案； 【上分攻略】(1)因为要求“直接写出”，因此不用写过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若△ ADC 的面积为4，求△ ABE 的面积. 【解】(2)∵△ ADC 和△ EDB 成中心对称，△ ADC 的面积为4，∴△ EDB 的面积也 为4. (7分) 【思路分析】(2)根据成中心对称的两个图形全等确定△ BDE 的面积，根据等底同 高的两个三角形面积相等确定△ ABD 的面积，从而确定△ ABE 的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 20. 开放性问题[2024浙江温州期中](12分)如图，在7×7的正方形网格中，△ ABC 是 格点三角形(顶点均在格点上)，请按要求画图. (1)在图中画出由△ ABC 绕点 A 顺时针旋转90°得到的格点△ AB1 C1. 【解】(1)如图，△ AB1 C1即为所求. (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)在图中画出由△ ABC 绕格点 O 旋转得到，且点 B 的对应点为 B2的格点△ A2 B2 C2，并标出点 O 的位置.(画出一个符合要求的图形即可) 【解】(2)如图，△ A2 B2 C2和点 O 即为所求.(答案不唯一) (12分) 【上分攻略】图要画清楚，防止因为判卷老师看不清而扣分. 【易错警示】选取的点 O 应使△ A2 B2 C2都在网格中，一定不要画出去. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 21. [2024广东东莞期中](12分)如图，△ OAB 中，∠ AOB ＝60°， OA ＝4，点 B 的坐标为(6，0)，将△ OAB 绕点 A 逆时针旋转得到△ CAD ，且点 O 的对应 点 C 落在 OB 上. (1)求∠ OAC 的度数. 【解】(1)由旋转的性质可知 AO ＝ AC ＝4.∵∠ AOB ＝60°，∴△ AOC 是等边三角 形，∴∠ OAC ＝60°. (4分) 【思路分析】(1)根据旋转的性质得出 AO ＝ AC ＝4，由∠ AOB ＝60°，即可证得△ AOC 是等边三角形，即可求得∠ OAC ＝60°； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)求点 D 的坐标. 【解】(2)如图，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E . ∵ B (6，0)，∴ OB ＝6. (6分) 由旋转的性质可知 OB ＝ CD ＝6，∠ ACD ＝∠ AOB ＝60°.∵△ AOC 是等边三角形， ∴ OC ＝ OA ＝4，∠ ACO ＝60°， ∴∠ DCE ＝60°， (9分) ∴∠ CDE ＝30°，∴ CE ＝ CD ＝3， DE ＝3 ，∴ OE ＝ OC ＋ CE ＝4＋3＝7， ∴ D (7，3 ). (12分) 【思路分析】(2)过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E ，先证∠ DCE ＝60°，然后求出 DE ， CE 的长，可得结论. 【上分攻略】(2)辅助线一般用虚线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 22. 探究性问题[2024山东德州期末](14分)如图(1)，在Rt△ ABC 中，∠ A ＝90°， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， AD ＝ AE ，连接 DC ， DE ，点 M ， P ， N 分别为 DE ， DC ， BC 的中点. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)观察猜想：图(1)中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系 是 ⁠. 【解】(1)∵点 P ， N 是 CD ， BC 的中点，∴ PN 是△ BCD 的中位线，∴ PN ∥ BD ， PN ＝ BD . ∵点 P ， M 是 CD ， DE 的中点，∴ PM 是△ CDE 的中位线， ∴ PM ∥ CE ， PM ＝ CE . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∴ BD ＝ CE ，∴ PM ＝ PN . ∵ PN ∥ BD ，∴∠ DPN ＝∠ ADC . ∵ PM ∥ CE ，∴∠ DPM ＝∠ DCA . ∵∠ BAC ＝ 90°，∴∠ ADC ＋∠ ACD ＝90°，∴∠ MPN ＝∠ DPM ＋∠ DPN ＝∠ DCA ＋∠ ADC ＝90°，∴ PM ⊥ PN . 故答案为 PM ＝ PN ， PM ⊥ PN . (4分) PM ＝ PN PM ⊥ PN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【关键点拨】解(1)的关键是判断出 PM ∥ CE 且 PM ＝ CE ， PN ∥ BD 且 PN ＝ BD ； 【上分攻略】(1)填空题不用写过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 理由如下：由旋转的性质知∠ BAD ＝∠ CAE . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∴△ ABD ≌△ ACE (SAS)， ∴∠ ABD ＝∠ ACE ， BD ＝ CE . (7分) 同(1)的方法得 PN ＝ BD ， PM ＝ CE ，∴ PM ＝ PN ，∴△ PMN 是等腰三角形. (8分) 同(1)的方法得 PM ∥ CE ， PN ∥ BD ，∴∠ DPM ＝∠ DCE ，∠ PNC ＝∠ DBC . (9分) ∵∠ DPN ＝∠ DCB ＋∠ PNC ＝∠ DCB ＋∠ DBC ， ∴∠ MPN ＝∠ DPM ＋∠ DPN ＝∠ DCE ＋∠ DCB ＋∠ DBC ＝∠ BCE ＋∠ DBC ＝ ∠ ACB ＋∠ ACE ＋∠ DBC ＝∠ ACB ＋∠ ABD ＋∠ DBC ＝∠ ACB ＋∠ ABC . (10分) (2)探究证明：把△ ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图(2)的位置，连接 MN ， BD ， CE ，判断△ PMN 的形状，并说明理由. 【解】(2)△ PMN 是等腰直角三角形. (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ∵∠ BAC ＝90°，∴∠ ACB ＋∠ ABC ＝90°，∴∠ MPN ＝90°，∴△ PMN 是等腰直 角三角形. (11分) 【关键点拨】解(2)的关键是判断出△ ABD ≌△ ACE ；【上分攻略】(2)解题过程非 常相似时，才能直接“同上面的方法得”，一般情况下不要省略过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)拓展延伸：把△ ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD ＝2， AB ＝4，直接写出 △ PMN 面积的最大值. 【解】(3)△ PMN 面积的最大值为 . (14分) 由(2)知△ PMN 是等腰直角三角形，则 PN 最大时，△ PMN 的面积最大.当点 D 在 BA 的延长线上时， BD 取得最大值，为 AB ＋ AD ＝6，∴ PN ＝ BD ＝3，∴△ PMN 面积的最大值为 ×3×3＝ . 【上分攻略】(3)因为要求“直接写出”，因此不用写过程. 【关键点拨】解(3)的关键是判断出当 PN 最大时，△ PMN 的面积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 $$