第二十三章 旋转 对点上分-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 对点上分 考点上分 - 练透考点 第二十三章　 上分点1　旋转的性质 上分点2　中心对称的性质 上分点3　关于原点对称的点的坐标特点 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 上分点4　轴对称、平移和旋转作图 上分点1　旋转的性质 1. [2023宁夏银川金凤区二模]如图，将△ ABC 绕点 B 顺时针旋转一定的角度得到 △A'BC'，此时点 C 在边A'B上，若 AB ＝5，BC'＝2，则A'C的长是 ⁠. (第1题图) 【解析】∵将△ ABC 绕点 B 顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，∴△ ABC ≌△A'BC'，∴A'B＝ AB ＝5， BC ＝BC'＝2，∴A'C＝3，故答案为3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. [2024河南洛阳期末]如图，将△ ABC 绕点 B 逆时针旋转β，得到△ EBD ，若 A 点 恰好在 ED 的延长线上，则∠ CAD 的度数为 .(用含β的式子表示) (第2题图) 180°－β 【解析】∵将△ ABC 绕点 B 逆时针旋转β，得到△ EBD ，∴∠ CAB ＝∠ E ， BA ＝ BE ，∠ ABE ＝β，∴∠ E ＝∠ BAE ＝∠ CAB ＝ ，∴∠ CAD ＝∠ CAB ＋∠ BAE ＝180°－β，故答案为180°－β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. [2024湖北黄石期末]如图，在△ ABC 中， BA ＝ BC ，∠ ABC ＝40°，将△ ABC 绕 点 B 按逆时针方向旋转100°得到△ DBE ，连接 AD ， CE 交于点 F . (1)求证：△ ABD ≌△ CBE . 【证明】∵△ ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转100°得到△ DBE ，∴∠ ABC ＝∠ DBE ＝40°，∠ ABD ＝∠ CBE ＝100°， AB ＝ BD ， BC ＝ BE . 又∵ BA ＝ BC ，∴ AB ＝ BC ＝ BD ＝ BE . 在△ ABD 与△ CBE 中， ∴△ ABD ≌△ CBE (SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 (2)求∠ AFC 的度数. 【解】∵∠ ABD ＝∠ CBE ＝100°， BA ＝ BC ＝ BD ＝ BE ，∴∠ BAD ＝∠ ADB ＝∠ BCE ＝∠ BEC ＝40°.∵∠ ABE ＝∠ ABD ＋∠ DBE ＝140°，∴∠ AFE ＝360°－∠ ABE －∠ BAD －∠ BEC ＝140°，∴∠ AFC ＝180°－∠ AFE ＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. [2024江苏淮安期末]如图，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG ，点 E 在 AD 上，延长 ED 交 FG 于点 H ，连接 BE ， CH . (1)四边形 BEHC 是何种特殊四边形？证明你的结论. 【解】(1)四边形 BEHC 是平行四边形.证明如下：∵四边形 FECG 是矩形，∴ FG ∥ EC ，∴∠ CED ＝∠ EHF . 又∵矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG ，∴ AD ∥ BC ，∠ EDC ＝∠ F ＝90°， DC ＝ FE . 在△ EDC 和△ HFE 中， ∴△ EDC ≌△ HFE (AAS)，∴ EH ＝ EC . 由旋转的性质可得 EC ＝ BC ，∴ EH ＝ EC ＝ BC . 又∵ EH ∥ BC ，∴四边形 BEHC 为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 (2)若 BC 长为2，则 AB 的长为 时，四边形 BEHC 为菱形. 【解】(2)∵四边形 BEHC 为菱形，∴ BE ＝ BC . 由旋转的性质可知 BC ＝ EC ， ∴ BE ＝ EC ＝ BC ，∴△ EBC 为等边三角形，∴∠ EBC ＝60°，∴∠ ABE ＝30°. 又∵ BE ＝ CB ＝2，∴ AE ＝1，∴ AB ＝ .故答案为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 上分点2　中心对称的性质 5. [2024安徽宿州期中]如图， BO 是等腰三角形 ABC 的底边中线， AC ＝2， AB ＝ 4，△ PQC 与△ BOC 关于点 C 中心对称，连接 AP ，则 AP 的长是(　D　) A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 (第5题图) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 【解析】∵ BO 是等腰三角形 ABC 的底边中线，∴ BO ⊥ AC ，即∠ BOC ＝ 90°， AO ＝ CO ＝ AC ＝1，∴ BO ＝ ＝ ＝ .∵△ PQC 与△ BOC 关于点 C 中心对称，∴ CQ ＝ CO ＝1，∠ Q ＝∠ BOC ＝90°， PQ ＝ BO ＝ ， ∴ AQ ＝ AO ＋ CO ＋ CQ ＝3，∴ AP ＝ ＝ ＝2 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. [2024江苏镇江期中]如图，线段 AB 与线段 CD 关于点 P 中心对称，若点 A (3， 3)， B (5，1)， D (－3，－1)，则点 C 的坐标为(　B　) A. (－3，－3) B. (－1，－3) C. (－4，－2) D. (－2，－4) (第6题图) 【解析】∵ B (5，1)， D (－3，－1)关于点 P 中心对称，∴ ＝1， ＝0，∴点 P 的坐标为(1，0).设点 C ( x ， y )，∵ A (3，3)与点 C 关于点 P 中心对称，∴ ＝ 1， ＝0，∴ x ＝－1， y ＝－3，∴ C (－1，－3).故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. 如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，将直线 DB 绕点 O 顺时针方向旋 转，交 DC ， AB 于点 E ， F . (1)求证：△ DEO ≌△ BFO . 【证明】在平行四边形 ABCD 中， CD ∥ AB ，∴∠ CDO ＝∠ ABO ，∠ DEO ＝∠ BFO . 又∵点 O 是平行四边形的对称中心，∴ OD ＝ OB ，∴△ DEO ≌△ BFO . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 (2)连接 AE ， CF . 若 DB ＝2， AD ＝1， AB ＝ ，当直线 DB 绕点 O 顺时针方向旋 转45°时，判断四边形 AECF 的形状，并说明理由. 【解】四边形 AECF 是菱形.理由如下：∵在△ ABD 中， DB ＝2， AD ＝1， AB ＝ ，∴ DB2＋ AD2＝ AB2，∴△ ABD 是直角三角形，且∠ ADB ＝90°.∵ OD ＝ OB ＝ DB ＝1，∴ AD ＝ OD ＝1，∴△ OAD 是等腰直角三角形，∴∠ AOD ＝45°.当直线 DB 绕点 O 顺时针方向旋转45°时，即∠ DOE ＝45°，∴∠ AOE ＝90°.∵△ DEO ≌△ BFO ，∴ OE ＝ OF . 又∵点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，∴ OA ＝ OC ，∴四 边形 AECF 是平行四边形.又∵∠ AOE ＝90°，即 EF ⊥ AC ，∴四边形 AECF 是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 上分点3　关于原点对称的点的坐标特点 8. [2024天津东丽区期末]点 P (－3， a )与点 Q ( b ，5)关于原点对称，则 a ＋ b 的值 为 ⁠. 【解析】∵点 P (－3， a )与点 Q ( b ，5)关于原点对称，∴ a ＝－5， b ＝3，∴ a ＋ b ＝－5＋3＝－2，故答案为－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. [2023北京朝阳区二模]已知点 P 关于原点的对称点在第四象限， 则 a 的取值范围是 ⁠. 【解析】∵点 P 关于原点的对称点在第四象限，∴点 P 在第二象限， ∴ 解不等式①，得 a ＜－1，解不等式②，得 a ＜ 2，∴不等式组的解集为 a ＜－1，∴ a 的取值范围是 a ＜－1.故答案为 a ＜－1. a ＜－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 上分点4　轴对称、平移和旋转作图 10. [2024吉林长春朝阳区期末]如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长 为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ ABC 的顶点均在格点上.只用无刻度的直 尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹. (1)画出将△ ABC 向上平移4格后得到的△ A1 B1 C1. 【解】(1)如图，△ A1 B1 C1即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 (2)画出将△ ABC 绕点 A 旋转180°后得到的△ AB2 C2. 【解】(2)如图，△ AB2 C2即为所作. (3)若点 B3在格点上，将△ ABC 沿直线 l 翻折，点 B 恰好与点 B3重合，先画出直线 l ，再画出翻折后的△ A3 B3 C3. 【解】(3)如图，直线 l 和△ A3 B3 C3即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$