上分专题(三) 二次函数与几何图形的综合-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 重难上分 – 攻克难点 上分专题(三)　 二次函数与几何图形的综合 类型1　二次函数与特殊三角形的综合 类型2　二次函数与特殊四边形的综合 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 类型1　二次函数与特殊三角形的综合 1. 如图，直线 y ＝ x ＋2与抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋6( a ≠0)相交于 A 和 B (4， m )，点 P 是线段 AB 上异于 A ， B 的动点，过点 P 作 PC ⊥ x 轴于点 D ，交抛物线于 点 C ，连接 AC . 当△ PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为 ⁠. (3，5)或 1 2 3 4 5 返回目录 【解析】∵直线 y ＝ x ＋2过点 B (4， m )，∴ m ＝6，∴ B (4，6).将 A ， B 两点坐标 代入抛物线解析式得 解得 ∴抛物线的解析式为 y ＝ 2 x2－8 x ＋6. ①若 A 点为直角顶点，如图(1). 设 AC 的解析式为 y ＝－ x ＋b'.将 A 点坐标代入 y ＝－ x ＋b'得b'＝3， ∴ AC 的解析式为 y ＝－ x ＋3.由 解得或(舍去)， ∴ C (3，0)，∴ P 点的横坐标为3，则纵坐标为5，∴ P (3，5)； 1 2 3 4 5 返回目录 ②若 C 点为直角顶点，如图(2). 令2 x2－8 x ＋6＝ ，解得 x ＝ 或 x ＝ (舍去)，则 C ，∴ P 点的横坐标为 ，则纵坐标为 ，∴ P .故答案为(3，5)或 . 1 2 3 4 5 返回目录 2. [2024陕西渭南月考]如图，抛物线 y ＝－ ( x ＋2)( x － t )( t ＞0)与 x 轴交 于 A ， B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴正半轴交于点 C ，已知抛物线的对 称轴为直线 x ＝1. (1)求抛物线的解析式. 【解】(1)在 y ＝－ ( x ＋2)( x － t )中，令 y ＝0得 x ＝－2或 x ＝ t ，∴ A (－2，0)， B ( t ，0).∵抛物线的对称轴为直线 x ＝1，∴ ＝1，解得 t ＝4，∴ y ＝－ ( x ＋ 2)( x －4)＝－ x2＋ x ＋4，∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋ x ＋4. 1 2 3 4 5 返回目录 (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 D ，使得△ DBC 为等腰三角形？若存在，求出 点 D 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】(2)在抛物线的对称轴上存在点 D ，使得△ DBC 为等腰三角形.设 D (1， m ).在 y ＝－ x2＋ x ＋4中，令 x ＝0，得 y ＝4，∴ C (0，4).由(1)知 B (4， 0)，∴ CD2＝1＋( m －4)2， BD2＝9＋ m2， BC2＝32.①当 CD ＝ BD 时，1＋( m － 4)2＝9＋ m2，解得 m ＝1，∴ D (1，1)；②当 CD ＝ BC 时，1＋( m －4)2＝32，解得 m ＝4＋ 或 m ＝4－ ，∴ D (1，4＋ )或(1，4－ )；③当 BD ＝ BC 时，9＋ m2＝32，解得 m ＝ 或 m ＝－ ，∴ D (1， )或(1，－ ).综上 所述，点 D 的坐标为(1，1)或(1，4＋ )或(1，4－ )或(1， )或(1，－ ). 1 2 3 4 5 返回目录 类型2　二次函数与特殊四边形的综合 3. 抛物线 y ＝ x2－2 x －3与 x 轴交于点 A ， B (点 A 在点 B 的左边)，点 P 在抛物线上. 点 C 是 x 轴上一个动点，四边形 ACPQ 是正方形，求满足条件的点 Q 的坐标. 【解】令 y ＝0，则0＝ x2－2 x －3，∴ x1＝3， x2＝－1， ∴ A (－1，0)， B (3，0).如图，设点 C 的坐标为( x ，0)，则 P ( x ， x2－2 x －3)， ∴ CA ＝｜ x ＋1｜.∵四边形 ACPQ 是正方形， ∴ CA ＝ CP ＝ AQ ，∠ ACP ＝90°， ∴｜ x ＋1｜＝｜ x2－2 x －3｜，∴ x ＋1＝ x2－2 x －3 或－ x －1＝ x2－2 x －3，∴ x1＝－1(不合题意，舍去)， x2＝2， x3＝4，∴点 C 的坐标为(2，0)或(4，0)，∴ AC ＝ AQ ＝3或5，∴点 Q 的坐标为(－1，－3)或(－1，5). 1 2 3 4 5 返回目录 4. [2024山东烟台芝罘区期末]如图，抛物线 y ＝ ax2＋ x ＋ c 经过坐标轴上 A ， B ， C 三点，直线 y ＝－ x ＋4过点 B 和点 C . (1)求抛物线的解析式. 【解】(1)∵ y ＝－ x ＋4，∴当 x ＝0时， y ＝4，∴ B (0，4)；当 y ＝0时， x ＝4， ∴ C (4，0).将点 B ， C 的坐标代入 y ＝ ax2＋ x ＋ c ，得 解得 ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋ x ＋4. 1 2 3 4 5 返回目录 (2) E 是直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 BE ， CE ，求△ BCE 面积的最大值及此 时点 E 的坐标. 【解】(2)过 E 点作 EG ∥ y 轴交 BC 于点 G . 设 E ，则 G ( t ，－ t ＋ 4)，∴ EG ＝－ t2＋2 t ，∴ S△ BCE ＝ × ×4＝－ t2＋4 t ＝－( t －2)2＋ 4，∴当 t ＝2时，△ BCE 的面积有最大值4，此时 E (2，4). 1 2 3 4 5 返回目录 【解】(3)存在点 P ，使得以 P ， Q ， B ， C 为顶点的四边形是平行四边形.∵ y ＝－ x2＋ x ＋4＝－ ( x －1)2＋ ，∴抛物线的对称轴为直线 x ＝1.设 Q (1， m )， P .①当 PQ 为平行四边形的对角线时，1＋ n ＝4，解得 n ＝3，∴ P ；②当 PB 为平行四边形的对角线时， n ＝4＋1＝5，∴ P ；③当 PC 为平行四边形的对角线时，4＋ n ＝1，解得 n ＝－3，∴ P .综上所述， P 点 坐标为 或 或 . (3) Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P ，使得以 P ， Q ， B ， C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 P 坐标；若不存 在，请说明理由. 1 2 3 4 5 返回目录 5. [2023山东日照三模节选]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋2与 x 轴交于 A (－4，0)和 B (1，0)，与 y 轴交于点 C ，连接 AC ， BC . (1)求该抛物线的解析式. 【解】(1)∵抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋2与 x 轴交于 A (－4，0)和 B (1，0)， ∴ 解得 ∴该抛物线的解析式为 y ＝－ x2－ x ＋2. 1 2 3 4 5 返回目录 (2)在 x 轴上有一动点 D ，平面内是否存在一点 E ，使以点 A ， D ， C ， E 为顶点的 四边形是菱形？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】(2)存在点 E ，使以点 A ， D ， C ， E 为顶点的四边形是菱形.∵以点 A ， D ， C ， E 为顶点的四边形是菱形，∴①如图(1)，当 AD1为对角线时，点 E1和点 C 关于原点对称.由(1)易得点 C (0，2)，∴点 E1(0，－2)； 1 2 3 4 5 返回目录 ②如图(2)，当 AD2＝ AC ，点 D2在点 A 右侧时，∵点 C (0，2)， CE2＝ AC ＝ ＝2 ，∴点 E2(2 ，2)； 1 2 3 4 5 返回目录 ③如图(3)，当 AD3＝ AC ，点 D3在点 A 左侧时，∵点 C (0，2)， CE3＝ AC ＝ ＝2 ，∴点 E3(－2 ，2)； 1 2 3 4 5 返回目录 ④当 AC 为对角线时，如图(4)所示.设 CE4＝ AD4＝ CD4＝ x ，则 OD4＝ OA － AD4＝ 4－ x .∵ C ＝ O ＋ OC2，∴ x2＝(4－ x )2＋22，解得 x ＝ ，∴ CE4＝ ，∴点 E4 . 综上，点 E 的坐标为 E1(0，－2)， E2(2 ，2)， E3(－2 ，2)， E4 . 1 2 3 4 5 返回目录 $$