上分专题(二) 实际应用问题-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 实际应用问题 重难上分 – 攻克难点 上分专题(二)　 类型1　利润问题 类型2　建筑抛物线形问题 类型3　运动路线抛物线形问题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 类型4　几何图形问题 类型5　方案设计问题 类型1　利润问题 1. 某超市购进一批单价为7元的生活用品，如果按每件10元出售，那么每天可销售 20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那 么将销售单价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大. 【解析】设销售单价定为 x 元( x ≥10)，每天所获利润为 y 元，则 y ＝[20－4( x － 10)]·( x －7)＝－4 x2＋88 x －420＝－4( x －11)2＋64，所以将销售单价定为11元 时，才能使每天所获销售利润最大.故答案为11. 11 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 2. 某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销 售量的相关信息如下表： 时间：第 x 天 1≤ x ≤30 31≤ x ≤60 日销售价(元/件) 0.5 x ＋35 50 日销售量(件) 128－2 x (1≤ x ≤60， x 为整数)设该商品的日销售利润为 w 元. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (1)写出 w 与 x 之间的函数关系式. 【解】(1)当1≤ x ≤30时， w ＝(0.5 x ＋35－30)·(－2 x ＋128)＝－ x2＋54 x ＋640； 当31≤ x ≤60时， w ＝(50－30)·(－2 x ＋128)＝－40 x ＋2 560.∴ w 与 x 之间的函数 关系式为 w ＝ (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【解】(2)当1≤ x ≤30时， w ＝－ x2＋54 x ＋640＝－( x －27)2＋1 369.∵－1＜0， ∴当 x ＝27时， w 有最大值，最大值为1 369；当31≤ x ≤60时， w ＝－40 x ＋ 2 560.∵－40＜0，∴当 x ＝31时， w 有最大值，最大值为－40×31＋2 560＝1 320.∵1 369＞1 320，∴该商品在第27天的日销售利润最大，最大日销售利润是1 369元. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 类型2　建筑抛物线形问题 3. 某市新建一座景观桥.如图，桥的拱肋 ADB 可视为抛物线的一部分，桥面 AB 可视 为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度 AB 为40 米，桥拱的最大高度 CD 为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与 CD 的距离为5米 的景观灯杆 MN 的高度为(　C　) 　 A. 13米 B. 14米 C. 15米 D. 16米 C 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 【解析】建立如图所示平面直角坐标系.设抛物线解析式为 y ＝ ax2＋16.由题意可 知，点 B 的坐标为(20，0)，∴400 a ＋16＝0，∴ a ＝－ ，∴ y ＝－ x2＋16， ∴当 x ＝5时， y ＝15.∴与 CD 的距离为5米的景观灯杆 MN 的高度为15米，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 类型3　运动路线抛物线形问题 4. [2023河北中考]嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请 解答这道题. 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点 A (6，1)处将沙包 (看成点)抛出，其运动路线为抛物线 C1： y ＝ a ( x －3)2＋2 的一部分，淇淇恰在点 B (0， c )处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 C2： y ＝－ x2＋ x ＋ c ＋1的一部分. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (1)写出 C1的最高点坐标，并求 a ， c 的值. 【解】(1)∵抛物线 C1： y ＝ a ( x －3)2＋2，∴ C1的最高点坐标为(3，2).∵点 A (6，1)在抛物线 C1： y ＝ a ( x －3)2＋2上，∴1＝(6－3)2 a ＋2，解得 a ＝－ ， ∴抛物线 C1的解析式为 y ＝－ ( x －3)2＋2.令 x ＝0，则 c ＝－ (0－3)2＋2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (2)若嘉嘉在 x 轴上方1 m的高度上，且到点 A 水平距离不超过1 m的范围内可以接到 沙包，求符合条件的 n 的整数值. 【解】(2)∵嘉嘉在 x 轴上方1 m的高度上，且到点 A 水平距离不超过1 m的范围内可 以接到沙包，∴可以接到沙包的位置的纵坐标为1，横坐标的取值范围为5≤ x ≤7. 当抛物线 C2经过(5，1)时，1＝－ ×52＋ ×5＋1＋1，解得 n ＝ ；当抛物线 C2 经过(7，1)时，1＝－ ×72＋ ×7＋1＋1，解得 n ＝ ，∴ ≤ n ≤ ，∴符合 条件的 n 的整数值为4和5. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 类型4　几何图形问题 5. 如图，要围一个矩形菜园 ABCD ，其中一边 AD 靠墙，且 AD 的长不能超过26 m， 其余的三边 AB ， BC ， CD 用篱笆围成，且这三边的和为40 m，有下列结论： ① AB 的长可以为6 m； ② AB 的长有两个不同的值满足菜园 ABCD 的面积为192 m2； ③菜园 ABCD 面积的最大值为210 m2. 其中，正确结论的个数是(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 【解析】设 AD 的长为 x m，则 AB 的长为 m.当 AB ＝6时， ＝6，解得 x ＝ 28.∵ AD 的长不能超过26 m，∴ x ≤26，故①错误.∵菜园 ABCD 的面积为192 m2， ∴ x · ＝192，整理得 x2－40 x ＋384＝0，解得 x ＝24或 x ＝16，∴ AB 的长有两 个不同的值满足菜园 ABCD 的面积为192 m2，故②正确.设矩形菜园的面积为 y m2.根 据题意得 y ＝ x · ＝－ ( x2－40 x )＝－ ( x －20)2＋200，∵－ ＜0，20＜26， ∴当 x ＝20时， y 有最大值，最大值为200，故③错误.∴正确的有1个，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 6. 如图，在一面靠墙的空地上用长24 m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花 圃，设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围. 【解】(1)∵花圃的宽 AB 为 x m，∴ BC ＝(24－4 x )m，∴ S ＝ x (24－4 x )＝－4 x2 ＋24 x (0＜ x ＜6). 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (2)若墙的最大可用长度为8 m，求围成花圃的最大面积. 【解】(2) S ＝－4 x2＋24 x ＝－4( x －3)2＋36.∵24－4 x ≤8，∴ x ≥4.又∵0＜ x ＜ 6，∴4≤ x ＜6.∵－4＜0，∴当4≤ x ＜6时， S 随 x 的增大而减小，∴当 x ＝4时，围 成的花圃有最大面积， S最大＝32.答：围成花圃的最大面积是32 m2. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (1)直接写出A类杨梅平均销售价格 y 与销售数量 x 之间的函数关系式. 【解】(1)①当2≤ x ＜8时，设直线 MN 的解析式为 y ＝ kx ＋ b .将 M (2，12)， N (8，6)代入得 解得 ∴ y ＝－ x ＋14(2≤ x ＜8)；②当 x ≥8 时， y ＝6.∴A类杨梅平均销售价格 y 与销售数量 x 之间的函数关系式为 y ＝ 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 类型5　方案设计问题 7. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类， A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/ 吨，根据市场调查，它的平均销售价格 y (单位：万元/吨)与销售数量 x ( x ≥2，单 位：吨)之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工总费用 s (单位：万元)与加工数 量 t (单位：吨)之间的函数关系是 s ＝12＋3 t ，平均销售价格为9万元/吨. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (2)第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有 x 吨，经营这批杨梅所获得的 总利润为 w 万元，求 w 关于 x 的函数关系式. 【解】(2)∵销售A类杨梅 x 吨，∴销售B类杨梅(20－ x )吨. wB＝9(20－ x )－[12＋ 3(20－ x )]＝108－6 x .当2≤ x ＜8时， wA＝ x (－ x ＋14)－ x ＝－ x2＋13 x ，∴ w ＝ wA＋ wB－3×20＝(－ x2＋13 x )＋(108－6 x )－60＝－ x2＋7 x ＋48；当8≤ x ≤20 时， wA＝6 x － x ＝5 x ，∴ w ＝ wA＋ wB－3×20＝5 x ＋(108－6 x )－60＝－ x ＋ 48.∴ w 关于 x 的函数关系式为 w ＝ 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (3)第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大 利润，并求出最大利润. 【解】(3)设该公司共购买了 m 吨杨梅，其中A类杨梅为 a 吨，B类杨梅为( m － a ) 吨，则购买费用为3 m 万元，A类杨梅加工成本为 a 万元，B类杨梅深加工成本为[12 ＋3( m － a )]万元，∴3 m ＋ a ＋[12＋3( m － a )]＝132，化简得 a ＝3 m －60. wB＝ 9( m － a )－[12＋3( m － a )]＝6 m －6 a －12. ①当2≤ a ＜8时， wA＝ a (－ a ＋14)－ a ＝－ a2＋13 a ，∴ w ＝ wA＋ wB－3 m ＝(－ a2＋13 a )＋(6 m －6 a －12)－3 m ＝－ a2＋7 a ＋3 m －12.将3 m ＝ a ＋60代入得 w ＝ － a2＋8 a ＋48＝－( a －4)2＋64，∴当 a ＝4时，公司有最大利润64万元，此时 m ＝ ， m － a ＝ ； 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 ②当 a ≥8时， wA＝6 a － a ＝5 a ，∴ w ＝ wA＋ wB－3 m ＝5 a ＋(6 m －6 a －12)－3 m ＝－ a ＋3 m －12.将3 m ＝ a ＋60代入得 w ＝48，∴当 a ≥8时，公司有最大利润48 万元. 综上所述，购买杨梅共 吨，其中A类杨梅4吨，B类杨梅 吨，公司能够获得最大 利润，最大利润为64万元. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 $$