卷5 第一次月考综合检测卷-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 第一次月考综合检测卷 考查内容：第二十一章至第二十二章 卷⑤ 一、选择题 二、填空题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 三、解答题 一、选择题 1. [2024广西玉林玉州区期中]下列选项中，是方程 x2＝1的根的是(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】 x2＝1，开平方得， x ＝±1，故选B. 2. [2024安徽期末]抛物线 y ＝ x2＋6 x ＋5的对称轴为直线 x ＝ m ，下列各点在直线 x ＝ m 上的是(　A　) A. (－3，0) B. (3，－4) C. (4，4) D. (－4，0) 【解析】∵抛物线 y ＝ x2＋6 x ＋5的对称轴为直线 x ＝－ ＝－3，∴ m ＝－3， ∴(－3，0)在直线 x ＝－3上，即在直线 x ＝ m 上.故选A. B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 3. [2024贵州遵义红花岗区期中]若 a 是一元二次方程2 x2＝6 x －4的根，则代数式 a2 －3 a ＋2 024的值为(　C　) A. 2 024 B. 2 023 C. 2 022 D. 2 021 【解析】∵ a 是一元二次方程2 x2＝6 x －4的根，∴2 a2＝6 a －4，∴2 a2－6 a ＝－ 4，∴ a2－3 a ＝－2，∴ a2－3 a ＋2 024＝－2＋2 024＝2 022，故选C. 4. [2024河南南阳邓州期末]下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(　B　) A. x2＋2 x ＋1＝0 B. x2＝ x C. x2＋1＝0 D. x2＋3＝2 x C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】 选项 系数 常数项 计算Δ 判断 a b c A 1 2 1 Δ＝ b2－4 ac ＝22－ 4×1×1＝0 有两个相等的实数根，不 合题意 B 1 －1 0 Δ＝(－1)2－4×1×0＝1 ＞0 有两个不相等的实数根， 符合题意 C 1 0 1 Δ＝02－4×1×1＝－4＜0 没有实数根，不合题意 D 1 －2 3 Δ＝(－2)2－4×1×3＝－ 8＜0 没有实数根，不合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 5. [2024北京海淀区期中]将抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)向下平移，关于平移前后 的抛物线，下列说法正确的是(　C　) A. 开口方向改变 B. 开口大小改变 C. 对称轴不变 D. 顶点位置不变 【解析】将抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)向下平移后，抛物线对称轴不变，开口 方向和大小不变，顶点位置改变，故选C. C 上分心得　图象的平移 图象本质上是几何图形，几何图形平移前后形状、大小不变. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 6. [2024北京密云区期末]《九章算术》勾股章有一问题，其意思是现有一竖立着的 木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索 长度为 x 尺，根据题意，可列方程为(　D　) A. 82＋ x2＝( x －3)2 B. 82＋( x ＋3)2＝ x2 C. x2＋( x －3)2＝82 D. 82＋( x －3)2＝ x2 【解析】根据题意，可列方程为82＋( x －3)2＝ x2，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 7. [2024江苏宿迁宿城区期末]定义：max{ a ， b }＝ 若函数 y ＝max{－ x －1， x2－2 x －3}，则该函数的最小值为(　C　) A. －1 B. 0 C. －3 D. 3 【解析】当－ x －1≥ x2－2 x －3，即－1≤ x ≤2时， y ＝max{－ x －1， x2－2 x －3} ＝－ x －1.∵－1＜0，∴当 x ＝2时，该函数的值最小，最小值为－3.当－ x －1＜ x2 －2 x －3，即 x ＜－1或 x ＞2时， y ＝max{－ x －1， x2－2 x －3}＝ x2－2 x －3＝( x －1)2－4，∴当 x ＞1时， y 随 x 的增大而增大，当 x ＜1时， y 随 x 的增大而减小.∵1 －(－1)＞2－1，当 x ＝2时， y ＝－3，∴当 x ＜－1或 x ＞2时， y ＞－3.综上所述， 该函数的最小值为－3.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 8. [2023山西太原万柏林区一模]使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y (单 位：m3)与旋钮的旋转角度 x (单位：度)(0度＜ x ≤90度)近似满足函数关系 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ( a ≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度 x 与所 需的燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和图中所标数据，可推断出此燃气灶 烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能为(　B　) A. 18度 B. 37度 C. 54度 D. 58度 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】由图象可知，二次函数图象的开口方向向上，对称轴与 x 轴的交点在(18， 0)与(54，0)之间，且距离(54，0)近一些，所以二次函数图象的最低点的横坐标的 范围为 ＜ x ＜54，∴36＜ x ＜54，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋 转角度可能为37度.故选B. 上分点拨　实际问题转化为数学问题 本题中“最节省”的意思其实是二次函数取得最小值的情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 9. 新考法[2024四川乐山市中区期末]定义[ x ]表示不超过实数 x 的最大整数，如[－ 2.3]＝－3，[－0.5]＝－1，[－2]＝－2，[0]＝0，[2.7]＝2.函数 y ＝[ x ]的图象如图所 示，则方程[ x ]＝ x2＋2 x 的实数根的个数有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】如图，画出 y ＝ x2＋2 x 的图象，根据图象可得[ x ]＝ x2＋2 x 的实数根为－ 1，0，共2个，故选B. (第9题图) (第9题图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 10. [2023四川南充模拟]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的图象如图，下列结论： ① abc ＞0； ②2 a ＋ b ＝0； ③当 m ≠1时， a ＋ b ＞ am2＋ bm ； ④ a － b ＋ c ＞0； ⑤若 ＋ bx1＝ ＋ bx2，且 x1≠ x2，则 x1＋ x2＝2. 其中正确的有(　D　) A. ①②③ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】∵抛物线开口向下，∴ a ＜0.∵抛物线的对称轴为直线 x ＝－ ＝1，∴ b ＝－2 a ＞0.∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴，∴ c ＞0，∴ abc ＜0，故①错 误.∵ b ＝－2 a ，∴2 a ＋ b ＝0，故②正确.∵抛物线的对称轴为直线 x ＝1，抛物线 开口向下，∴当 x ＝1时， y 有最大值，∴当 m ≠1时， a ＋ b ＋ c ＞ am2＋ bm ＋ c ， 即当 m ≠1时， a ＋ b ＞ am2＋ bm ，故③正确.∵抛物线的对称轴为直线 x ＝1，抛物 线与 x 轴的一个交点在(2，0)与(3，0)之间，∴抛物线与 x 轴的另一个交点在(－ 1，0)与(0，0)之间，∴ x ＝－1时， y ＜0，即 a － b ＋ c ＜0，故④错误.若 ＋ bx1＝ ＋ bx2，且 x1≠ x2，即若 ＋ bx1＋ c ＝ ＋ bx2＋ c ，且 x1≠ x2，则 x1 ＋ x2＝2，故⑤正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 二、填空题 11. [2024黑龙江哈尔滨南岗区期末]抛物线 y ＝ x2＋(－1) nx ＋3的对称轴为直线 x ＝ 1，则 n 的值为 .(写出一个满足条件的 n 值即可) 【解析】∵抛物线 y ＝ x2＋(－1) nx ＋3的对称轴为直线 x ＝1，∴－ ＝1， ∴(－1) n ＝－1，∴ n 为奇数，∴ n 的值为1(答案不唯一).故答案为1(答案不唯一). 1(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 12. [2024湖南邵阳期末]如图，平面直角坐标系中，一条直线 y2与抛物线 y1相交于 A (－ ，1)， B 两点，则当 y1＞ y2时， x 的取值范围是 　 x ＜－ 或 x ＞ 　. 【解析】由题图可知，当 y1＞ y2时， x 的取值范围是 x ＜－ 或 x ＞ .故答案为 x ＜ － 或 x ＞ . x ＜－ 或 x ＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 13. [2024云南楚雄期中]已知 x1， x2是一元二次方程2 x2－2 x －1＝0的两根，则 ＋ ＝ ⁠. 【解析】根据题意得 x1＋ x2＝1， x1 x2＝－ ，则 ＋ ＝ ＝ ＝－2.故答案 为－2. －2 上分心得　一元二次方程的根与系数的关系的应用 ＋ ， ＋ 等式子均可经过变形，然后利用一元二次方程的根与系数的关 系求值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 14. [2024上海金山区期末]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的部分 x ， y 的对应值如 下表： x … －4 －3 －2 －1 0 … y … m －3 －2 －3 －6 … 那么 m 的值为 ⁠. 【解析】∵ x ＝－3和 x ＝－1时的函数值都是－3，∴函数图象的对称轴为直线 x ＝ －2，∴ x ＝－4和 x ＝0时的函数值相等，∴ m ＝－6，故答案为－6. －6 上分点拨　抛物线的对称性 运用抛物线的对称性解题较简便. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 15. [2024浙江温州鹿城区期中]小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全 开启后，水流近似呈抛物线形，如图所示.升降器 AB 和淋浴喷头 BC 所成∠ ABC ＝ 135°，其中 AB ＝10 cm， BC ＝10 cm，刚开始时， OA ＝120 cm，水流所在的抛 物线恰好经过点 A ，抛物线落地点 D 和点 O 相距80 cm.为了方便淋浴，淋浴器仍需 完全处于完全开启的状态，且要求落地点和点 O 的距离增加10 cm，即DD'＝10 cm，则小刚应把升降器 AB 向上平移 ⁠cm. 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】作 CE ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 E ，如图所示. ∵∠ ABC ＝135°， AB ＝10 cm， BC ＝10 cm，∴∠ CBE ＝45°，∴ CE ＝ BE ＝10 cm.∵ OA ＝120 cm，∴点 C 的坐标为(20，130).设过点 A (0，120)， C (20，130)， D (80，0)的抛物线解析式为 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)，则 解得 ∴ y ＝－ x2＋ x ＋120＝－ ＋ ＋120.∵要求落地 点和点 O 的距离增加10 cm，∴设小刚应把升降器 AB 向上平移 m cm，则平移后的抛 物线解析式为 y ＝－ ＋120＋ ＋ m .∵D'的坐标为(90，0)， ∴0＝－ ＋120＋ ＋ m ，解得 m ＝45，故答案为45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 16. 规律探究如图，在平面直角坐标系中， A (－3，0)， B (0，1)，形状相同的抛物 线 Cn ( n 为正整数)的顶点在直线 AB 上，其对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为2， 3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线 C8的顶点坐标为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】设直线 AB 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0).∵ A (－3，0)， B (0，1)， ∴ 解得 ∴直线 AB 的解析式为 y ＝ x ＋1. ∵抛物线的对称 轴与 x 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，观察发现：从第3个数开始， 每个数都是前两个数的和，∴抛物线 C8的顶点的横坐标为55，将 x ＝55代入 y ＝ x ＋1，得 y ＝ ，∴抛物线 C8的顶点坐标为 . 上分点拨　规律探究问题 解决本题的关键是找到每个二次函数图象的对称轴与 x 轴的交点的横坐标之间 的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 三、解答题 17. [2024安徽期末](8分)解下列方程： (1) x (2 x ＋1)－5(2 x ＋1)＝0. 【解】(1) x (2 x ＋1)－5(2 x ＋1)＝0，∴(2 x ＋1)( x －5)＝0， (2分) ∴2 x ＋1＝0或 x －5＝0，解得 x1＝－ ， x2＝5. (4分) (2) x2＋4 x －1＝0. 【解】(2) x2＋4 x －1＝0，∴ x2＋4 x ＋4＝1＋4， (6分) ∴( x ＋2)2＝5，∴ x ＋2＝± ，∴ x1＝－2＋ ， x2＝－2－ . (8分) 【上分攻略】用哪种方法，就一定要有这种方法的关键一步，如： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)一定要有“(2 x ＋1)( x －5)＝0”这一步；(2)一定要有“ x2＋4 x ＋4＝1＋4”这 一步.否则不能得满分. 【刷有所得】因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为 零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积的形式；③令每个因式分别为零， 得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 18. [2024山东德州陵城区期末](10分)已知二次函数 y ＝ x2－2 x －3的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，如图所示.求： (1)点 A ， B ， C 的坐标. 【解】(1)令 x ＝0，则 y ＝－3，∴ C (0，－3). (2分) 令 y ＝0，则 x2－2 x －3＝0，解得 x1＝－1， x2＝3，∴ A (－1，0)， B (3，0) (6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)∵ A (－1，0)， B (3，0)， C (0，－3)，∴ AB ＝4， OC ＝3， (8分) ∴ S△ ABC ＝ AB · OC ＝6. (10分) 【上分攻略】(2)线段的长度一定是正数. 【思路分析】根据点 A ， B ， C 的坐标求出 AB ， CO 的长度，即可求出△ ABC 的面积. (2)△ ABC 的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 19. [2024四川成都双流区期中](10分)已知关于 x 的一元二次方程 x2－4 mx ＋3 m2＝0. (1)求证：该方程总有两个实数根. 【证明】∵关于 x 的一元二次方程 x2－4 mx ＋3 m2＝0，∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－4 m )2－ 4×1×3 m2＝4 m2≥0，∴该方程总有两个实数根. (4分) 【关键点拨】解题的关键是(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若 m ＞0，且该方程的两个实数根相差4，求 m 的值. 【解】设 x2－4 mx ＋3 m2＝0的两个实数根为 x1， x2( x1＞ x2)，则有 x1＋ x2＝4 m ， x1 x2＝3 m2. (6分) 由｜ x1－ x2｜＝4得( x1－ x2)2＝16，即( x1＋ x2)2－4 x1 x2＝16，∴(4 m )2－12 m2＝ 16，则 m ＝±2.又∵ m ＞0，∴ m ＝2，∴ m 的值为2. (10分) 【上分攻略】(2)解出“ m ＝±2”后，注意舍去负值，否则会扣分. 【关键点拨】解题的关键是(2)利用一元二次方程的根与系数的关系以及完全平方 公式即可求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 20. 新情境[2024安徽桐城期末](12分)为助力实现“双碳”目标，安徽大力发展光伏 零部件制造.合肥某公司2023年第一季度生产A型零件的成本是200万元，由于技术 升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为128万元，若该公司每个 季度生产成本的平均下降率都相同. (1)求该公司每个季度生产成本的平均下降率是多少. 【解】(1)设该公司每个季度生产成本的平均下降率是 x .根据题意得200(1－ x )2＝ 128， (4分) 解得 x1＝0.2＝20％， x2＝1.8(不合题意，舍去). 答：该公司每个季度生产成本的平均下降率是20％. (7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(1)设该公司每个季度生产成本的平均下降率是 x ，根据2023年第一季 度、第三季度的生产成本，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的 值即可得出结论； 【上分攻略】(1)问的是下降率，因此要写成“20％”的形式，否则可能扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)按照这个平均下降率，预计2024年第一季度生产A型零件的成本是多少元. (2)根据题意，得128×(1－20％)2＝81.92(万元). 答：预计2024年第一季度生产A型零件的成本是81.92万元. (12分) 【思路分析】(2)由2024年第一季度的生产成本＝2023年第三季度的生产成本×(1 －下降率)2，即可得出结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 21. [2024北京丰台区期中](12分)如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前 方8 m的 A 处射门，已知球门高 OB 为2.44 m，球射向球门的路线可以看作是抛物线 的一部分.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3 m. 现以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)求抛物线的解析式(不必写出自变量的取值范围). 【解】(1)∵8－6＝2，∴抛物线的顶点坐标为(2，3).设抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －2)2＋3( a ≠0). (2分) 把点 A (8，0)代入，得36 a ＋3＝0，解得 a ＝－ ，∴抛物线的解析式为 y ＝－ ( x －2)2＋3. (4分) 【思路分析】(1)求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即 可求出抛物线的解析式； 【上分攻略】(1)题中有特殊说明，则不用写自变量的取值范围，写错还要扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素). 【解】(2)当 x ＝0时， y ＝－ ×4＋3＝ ＞2.44，∴球不能射进球门. (7分) 【思路分析】 (2)求出当 x ＝0时 y 的值，再与2.44比较，即可知球能否射进球门； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移 动 m射门，才能让足球经过点 O 正上方2.25 m处. 【解】(3)设运动员带球向正后方移动 t m射门，则移动后的抛物线为 y ＝－ ( x － 2－ t )2＋3.把点(0，2.25)代入，得2.25＝－ (0－2－ t )2＋3，解得 t ＝－5(舍去)或 t ＝1，∴他应该带球向正后方移动1 m射门，才能让足球经过点 O 正上方2.25 m处. 故答案为1. (12分) 【上分攻略】(3)填空题不用写解题过程. 【思路分析】(3)设运动员带球向正后方移动 t m，则可用含 t 的式子表示移动后的 抛物线解析式，把点(0，2.25)代入求出 t 的值，然后进行取舍，即可得出答案. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 22. 探究性问题 [2024福建龙岩期末](14分)如图，已知抛物线 y ＝－ ( x － k )2＋ h 与 x 轴交于点 A (－1，0)和点 B ，且对称轴为直线 x ＝ . 【自主探究】(1)求抛物线的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解】∵抛物线 y ＝－ ( x － k )2＋ h 经过点 A (－1，0)，且对称轴为直线 x ＝ ， ∴ 解得 (2分) ∴ y ＝－ ＋ ＝－ x2＋ x ＋2，∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋ x ＋2. (3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思考拓展】(2)若 C ( m ， m －1)是抛物线上位于第一象限内的点， D 是线段 AB 上的一个动点(不与 A ， B 重合)，过点 D 分别作 DE ∥ BC 交 AC 于 E ， DF ∥ AC 交 BC 于 F . ①求 C 点坐标. 【解】把 C ( m ， m －1)代入 y ＝－ x2＋ x ＋2，得 m －1＝－ m2＋ m ＋2，解得 m ＝3或 m ＝－2.∵点 C 是抛物线上位于第一象限内的点，∴ C (3，2). (6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ②求证：四边形 DECF 是矩形. 【证明】在 y ＝－ x2＋ x ＋2中，令 y ＝0，得0＝－ x2＋ x ＋2，解得 x ＝－1或 x ＝4， ∴ A (－1，0)， B (4，0). (7分) 又∵ C (3，2)，∴ AB2＝(－1－4 )2＝25， AC2＝(－1－3 )2＋(0－2 )2＝20， BC2＝ (4－3 )2＋(0－2 )2＝5，∴ AC2＋ BC2＝ AB2， ∴△ ABC 为直角三角形，∠ ACB ＝90°. (9分) 又∵ DE ∥ BC ， DF ∥ AC ，∴四边形 DECF 是平行四边形.∵∠ ACB ＝90°，∴四边 形 DECF 是矩形. (10分) 【上分攻略】“∴四边形 DECF 是平行四边形”不能省略，否则可能扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ③连接 EF ，线段 EF 的长是否存在最小值？若存在，求出 EF 的最小值；若不存 在，请说明理由. 【解】线段 EF 的长存在最小值. (11分) 连接 CD ，过 C 点作 CH ⊥ AB ，垂足为 H ，如图所示. ∵四边形 DECF 是矩形， ∴ EF ＝ CD . 当 CD ⊥ AB 时， CD 的值最小，即 EF 的最小值为 CH 的长.∵ C (3， 2)，∴ CH ＝2，∴ EF 的最小值是2. (14分) 【上分攻略】先说明存在或不存在，再求解. 【关键点拨】本题考查二次函数与几何图形的综合应用，涉及待定系数法、矩形的 判定与性质等知识. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 $$