卷4 第二十二章 二次函数 提优验收卷(B卷)-【初中上分卷】2024-2025学年九年级上册数学(人教版)

九年级上册 人教版 数 学 返回目录 1 第二十二章提优验收卷(B卷) 考查内容：二次函数 卷④ 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 一、选择题 1. [2024广东云浮期末]关于 x 的函数 y ＝( a － b ) x2＋1是二次函数的条件是(　B　) A. a ≠0 B. a ≠ b C. b ＝0 D. a ＝0 【解析】当 a － b ≠0，即 a ≠ b 时， y ＝( a － b ) x2＋1是二次函数.故选B. 2. 若二次函数 y ＝ ax2的图象经过点 P (－2，4)，则该图象必经过点(　A　) A. (2，4) B. (－2，－4) C. (－4，2) D. (4，－2) 【解析】∵二次函数 y ＝ ax2的图象的对称轴为 y 轴，∴若二次函数 y ＝ ax2的图象经 过点 P (－2，4)，则该图象必经过点(2，4).故选A. B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分技巧　二次函数的图象的对称性 只要二次函数的图象的对称轴确定，此二次函数的图象上任意一点关于对称轴对称 的点的坐标就能确定，不需要知道此二次函数的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 3. [2024河南南阳宛城区期中]若二次函数 y ＝ x2＋2 x ＋ a 有最小值7，则 a 的值为 (　C　) A. －6 B. 6 C. 8 D. －8 【解析】抛物线的对称轴为直线 x ＝－ ＝－1.当 x ＝－1时， y ＝1－2＋ a ＝7， 解得 a ＝8，故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 4. [2024福建莆田涵江区期末]已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的部分 y 与 x 的 对应值如表： x … －2 －1 1 2 4 … y … 0 n －3 m －3 … 根据表格可知，一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解是(　D　) A. x1＝－2， x2＝5 B. x1＝－2， x2＝5.5 C. x1＝－2， x2＝6 D. x1＝－2， x2＝7 D 【解析】∵ x ＝1时， y ＝－3； x ＝4时， y ＝－3，∴抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的对称 轴为直线 x ＝ ＝ .∵ x ＝－2时， y ＝0，∴ x ＝7时， y ＝0，∴关于 x 的一元二次 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解为 x1＝－2， x2＝7.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 5. [2023重庆永川区一模]五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天 轮.摩天轮上，小明离地面的高度 h (米)和他坐上摩天轮后旋转的时间 t (分)之间的 部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是(　C　) A. 摩天轮旋转一周需要6分钟 B. 小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同 C. 小明离地面的最大高度为42米 D. 小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米 (第5题图) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】由题图可知，小明从坐上摩天轮后到第一次到达最高点时经过3分钟，第 二次到达最高点时经过9分钟，9－3＝6(分)，∴A选项正确.由题图可知，小明出发 后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度均为45米，高度相同，∴B选项正确.由题图 可知，小明离地面的最大高度为45米，∴C选项错误，符合题意.∵摩天轮旋转一周 需要6分钟，摩天轮的最低点离地面的高度为3米，∴小明出发后经过6分钟回到最 低点，即离地面高度为3米，∴D选项正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 6. [2024河南洛阳期末]二次函数 y ＝ ax2＋ bx 的图象如图所示，当－1＜ x ＜ m 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是(　B　) A. m ＞1 B. －1＜ m ≤1 C. m ＞0 D. －1＜ m ＜2 (第6题图) 【解析】由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线 x ＝1，∴当 x ≤1时， y 随 x 的增大而增大.又∵当－1＜ x ＜ m 时， y 随 x 的增大而增大，∴－1＜ m ≤1，故选B. B 上分技巧　特殊值法 本题也可以用特殊值法，在每个选项的范围内选取特殊值，看是否符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 7. [2024浙江温州龙湾区期末]若把二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的图象向左平移 4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则此二次函数图象的对称轴是 (　D　) A. 直线 x ＝－2.5 B. 直线 x ＝2.5 C. 直线 x ＝－1.5 D. 直线 x ＝1.5 【解析】由题意可知，抛物线与 x 轴的两个交点分别为(－1，0)和(4，0)，∴二次 函数图象的对称轴为直线 x ＝ ＝1.5，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 8. 新定义[2023山东德州二模]函数的“向心值”：两个不相交的函数图象在竖直方 向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”. 【问题解决】二次函数 y ＝ x2－2 x ＋3与一次函数 y ＝ x －2的“向心值”为(　A　) A. B. C. 3 D. 4 【解析】易知二次函数图象在一次函数图象上方，∴ x2－2 x ＋3－( x －2)＝ ＋ ，当 x ＝ 时，该式的最小值为 ，∴二次函数 y ＝ x2－2 x ＋3与一次函数 y ＝ x －2的“向心值”为 .故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 9. [2024北京海淀区期中]如图，二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的图象经过点 A ， B ， C . 下列四个结论中，所有正确结论的序号是(　B　) (第9题图) B ①抛物线开口向上； ②当 x ＝－2时， y 取最大值； ③当 m ＜4时，关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ m 必有两个不相等的实数根； ④直线 y ＝ kx ＋ c ( k ≠0)经过点 A ， C ，当 kx ＋ c ＜ ax2＋ bx ＋ c 时， x 的取值范围是－4＜ x ＜0. A. ③ B. ③④ C. ②④ D. ①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】①由题图可知，抛物线开口向下，所以①错误；②若当 x ＝－2时， y 取最 大值，则由于点 A 和点 C 到直线 x ＝－2的距离相等，可知这两点的纵坐标应该相 等，但是题图中点 A 和点 C 纵坐标显然不相等，所以②错误；③当 x ＝－2时 y ＝4， 而 B 点不是抛物线的顶点，则当 m ＜4时，抛物线与直线 y ＝ m 有两个交点，即关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ m 必有两个不相等的实数根，所以③正确；④因为 直线 y ＝ kx ＋ c ( k ≠0)经过点 A ， C ，所以当 kx ＋ c ＜ ax2＋ bx ＋ c 时， x 的取值范 围是－4＜ x ＜0，所以④正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 上分心得　函数相关的比较大小 解表示两个不同函数的函数值之间的不等关系的不等式时，一般要结合图象，求一 个函数图象在另一函数图象上(或下)方时(根据不等号决定是否取交点)对应的 x 的 取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 10. [2024四川南充期末]如图，已知抛物线 y ＝－ x2＋ px ＋ q 的对称轴为直线 x ＝－ 3，过其顶点 M 的一条直线 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)与该抛物线的另一个交点为 N (－1， 1).要在坐标轴上找一点 P ，使得△ PMN 的周长最小，则点 P 的坐标为(　A　) A. (0，2) B. C. (0，2)或 D. 以上都不正确 (第10题图) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】∵抛物线 y ＝－ x2＋ px ＋ q 的对称轴为直线 x ＝－3，点 N (－1，1)是抛物 线上的一点，∴ 解得 ∴该抛物线的解析式为 y ＝－ x2 －6 x －4＝－( x ＋3)2＋5，∴ M (－3，5).∵△ PMN 的周长为 MN ＋ PM ＋ PN ，且 MN 是定值，∴只需 PM ＋ PN 的值最小. 如图(1)，作点 M 关于 y 轴对称的点 M1，连接 M1 N ，则 M1 N 与 y 轴的交点即为所求 的点 P ，连接 PM . ∵ M (－3，5)，∴ M1(3，5).设直线 M1 N 的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 解析式为 y ＝ ax ＋ t ( a ≠0)，则 解得 故直线 M1 N 的解析式 为 y ＝ x ＋2.当 x ＝0时， y ＝2，即 P (0，2)，此时 PM ＋ PN ＝ M1 N ＝ ＝4 .如图(2)，作点 M 关于 x 轴对称的点 M2，连接 M2 N ，则 M2 N 与 x 轴的交点即为所求的点 P ，连接 PM . 同理可求点 P 的坐标为 ， M2(－3，－5)，此时 PM ＋ PN ＝ M2 N ＝ ＝ 2 .若点 P 在 y 轴上，则△ PMN 的周长最小为4 ＋ MN ；若点 P 在 x 轴上，则△ PMN 的周长最小为2 ＋ MN . ∵4 ＜2 ，∴4 ＋ MN ＜2 ＋ MN ， ∴点 P 的坐标为(0，2)时，△ PMN 的周长最小.综上所述，符合条件的点 P 的坐标 是(0，2).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 二、填空题 11. [2024江苏南京江宁区期中]点( m ，1)是二次函数 y ＝ x2－2 x －1图象上一点，则 3 m2－6 m 的值为 ⁠. 【解析】∵点( m ，1)是二次函数 y ＝ x2－2 x －1图象上一点，∴ m2－2 m －1＝1， ∴ m2－2 m ＝2，∴3 m2－6 m ＝3( m2－2 m )＝3×2＝6.故答案为6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 12. 开放性问题[2024江苏扬州邗江区期末]当 m ＝ 时(只要写出一 个符合条件的 m 值即可)，抛物线 y ＝ x2＋2 x ＋ m －1( m 是常数)经过第一、二、三 象限. 【解析】∵抛物线经过第一、二、三象限，∴抛物线与 y 轴的交点在正半轴上或交 于原点，且当 x ＝－ ＝－1时， y ＜0，则 m －1≥0，且1－2＋ m －1＜0，解得 1≤ m ＜2，∴符合条件的 m 的值可以是1，∴ m ＝1. 故答案为1(答案不唯一). 1(答案不唯一) 上分警示　开放性问题 做开放性问题时，得出的答案可以代入题干检查一遍，看是否符合题目的每个要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 13. [2024山东青岛胶州期末]直线 y ＝ kx ＋1( k ≠0)与抛物线 y ＝ ax2＋3( a ≠0)交于 点 A (1，2)和点 B ，则点 B 坐标是 ⁠. 【解析】将 A (1，2)代入 y ＝ kx ＋1( k ≠0)中，得 k ＝1，∴ y ＝ x ＋1.将 A (1，2)代 入 y ＝ ax2＋3( a ≠0)中，得 a ＝－1，∴ y ＝－ x2＋3.联立 解得 或 ∴ B (－2，－1).故答案为(－2，－1). (－2，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 14. [2024山东德州期中]坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点 P ， Q 均在 x 轴 上，且有一条水平线与两图象相交于 A ， B ， C ， D 四点，各点位置如图所示，若 AB ＝10， BC ＝5， CD ＝6，则 PQ 的长度为 ⁠. 【解析】∵ AB ＝10， BC ＝5，∴ AC ＝ AB ＋ BC ＝15，∴ xC － xP ＝ .∵ BC ＝5， CD ＝6，∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝11，∴ xQ － xB ＝ ，∴ PQ ＝ xQ － xP ＝( xQ － xB )＋ ( xC － xP )－( xC － xB )＝ ＋ －5＝8，故答案为8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 15. [2024北京丰台区期末]由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑 行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.某公司设计了一款新型汽车，需 要对它的刹车性能进行测试.设汽车的刹车距离为 s (单位：m)，车速为 v (单位： km/h)，根据测得的数据， s 与 v 的函数关系如图所示. (第15题图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)若该款汽车某次测试的刹车距离为50 m，估计该车的速度约为 ⁠km/h. 【解析】(1)观察题图可知， s 与 v 的函数关系的图象过点(120，50)，∴该款汽车 某次测试的刹车距离为50 m，估计该车的速度约为120 km/h.故答案为120. 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)在测试中发现该款汽车在车速达到某一数值时，其刹车距离的数值恰好是车速 数值的 ，则此时的车速约为 km/h(结果取整数). 【解析】(2)观察题图可知， s 与 v 的函数关系的图象是顶点为(0，0)的抛物线.设 s ＝ av2( a ≠0)，把(120，50)代入，得50＝1202 a ，解得 a ＝ ，∴ s ＝ v2.∵刹 车距离的数值恰好是车速数值的 ，∴ v ＝ v2，解得 v1＝96， v2＝0(舍)，∴此 时的车速约为96 km/h，故答案为96. 【上分攻略】题中横线后已有单位，故答案不需再写单位. 96 上分点拨　从实际问题中提取有效信息 实际问题的题干一般都比较长，要学会关注有效信息，如本题中，“设汽车的刹车 距离……”之后才是有效信息. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 16. 规律探究[2024广西南宁青秀区期末]观察规律： ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ，….运用你观察到的规律解决问题：如图，分别过点 Pn ( n ，0)( n 为正整 数)作 x 轴的垂线，交 y ＝ ax2( a ＞0， x ≥0)的图象于点 An ，交直线 y ＝－ ax 于点 Bn ，则 ＋ ＋…＋ 的值为 ⁠. (第16题图) ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【解析】∵ A1在抛物线 y ＝ ax2( a ＞0， x ≥0)上， B1在直线 y ＝－ ax 上，∴ A1(1， a )， B1(1，－ a )，∴ A1 B1＝ a －(－ a )＝2 a ＝1×2 a ； A2(2，4 a )， B2(2，－2 a )，∴ A2 B2＝4 a －(－2 a )＝6 a ＝2×3 a ； A3(3，9 a )， B3(3，－3 a )，∴ A3 B3＝ 9 a －(－3 a )＝12 a ＝3×4 a ；…，∴ AnBn ＝ n ( n ＋1) a ，∴ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ［ ＋ ＋ ＋…＋ ］＝ (1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － )＝ × ＝ .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 三、解答题 17. [2024江西赣州章贡区期中](8分)已知抛物线 y ＝－ x2＋ bx －3经过点(－1，0). (1)求 b 的值. 【解】(1)将(－1，0)代入 y ＝－ x2＋ bx －3，可得－1－ b －3＝0，∴ b ＝－4. (2分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)求该抛物线的顶点坐标. 【解】(2)由(1)可知 b ＝－4， ∴ y ＝－ x2－4 x －3， (3分) ∴ y ＝－ x2－4 x －3＝－( x2＋4 x ＋4－1)＝－( x ＋2)2＋1， (5分) ∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1). (6分) 【上分攻略】(2)将一般式转化为顶点式时，当二次项系数为负数时，加括号后要 注意变号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)该抛物线上有两点(1， y1)和(－1， y2)，则 y1 y2.(填“＞”“＝”或 “＜”) (3)根据二次函数的性质可知，抛物线 y ＝－ x2－4 x －3，开口向下，对称轴为直线 x ＝－2.当 x ＜－2时， y 随 x 的增大而增大，当 x ＞－2时， y 随 x 的增大而减小. ∵1＞－1＞－2，∴ y1＜ y2. 故答案为＜. (8分) 【刷有所得】比较二次函数图象上点的纵坐标的大小，一定要明确这些点与对称轴 的相对位置，若这些点不在对称轴同侧，则无法直接利用增减性进行比较. ＜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 18. [2024辽宁大连中山区期末](10分)已知抛物线 C1的解析式为 y ＝ x2－2 x ＋1，将 抛物线 C1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线 C2. (1)求抛物线 C2的函数解析式. 【解】(1)∵抛物线 C1的解析式为 y ＝ x2－2 x ＋1＝( x －1)2， (2分) ∴抛物线 C1的顶点坐标为(1，0)， (4分) ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(2，－2)， (6分) ∴平移后的抛物线 C2的解析式为 y ＝( x －2)2－2. (7分) 【上分攻略】(1)求出顶点式后无需转化为一般式，因为转化时容易出错，导 致扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)点 A ( a ，－3)是否在抛物线 C2上？请说明理由. 【解】(2)点 A ( a ，－3)不在抛物线 C2上. (8分) 理由：∵抛物线 C2的开口向上，函数有最小值－2， A ( a ，－3)，－3＜－2， (9分) ∴点 A 不在抛物线 C2上. (10分) 【思路分析】先求出抛物线 C1的顶点坐标，再利用平移的性质求出平移后的抛物线 C2的顶点坐标，可得结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 19. [2024陕西咸阳秦都区期末](10分)掷实心球是杭州市高中阶段学校招生体育考试 的选考项目.小法投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况. 他以水平方向的直线为 x 轴，竖直方向的直线为 y 轴，1 m为单位长度，建立了如图 所示的平面直角坐标系，实心球从 y 轴上的 A 点出手，其运动路径可看作抛物线， 在 B 点处达到最高位置，落在 x 轴上的点 C 处，小法某次试投时的数据如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的解析式. 【解】(1)依题意，抛物线的顶点 B 的坐标为(5，4)，点 A 的坐标为(0，2). (2分) 设该抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －5)2＋4( a ≠0). (3分) ∵抛物线过点 A (0，2)，∴ a (0－5)2＋4＝2，解得 a ＝－ ，∴该抛物线的解析式 为 y ＝－ ( x －5)2＋4. (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)根据杭州市高中阶段学生招生体育考试评分标准(男生)，若实心球投球距离(实 心球落地点 C 与出手点 A 的水平距离 OC 的长度)不小于10 m，成绩为满分10分.请通 过计算，判断小法此次试投的成绩是否能达到满分. 【解】(2)点 A ( a ，－3)不在抛物线 C2上. (8分) 理由：∵抛物线 C2的开口向上，函数有最小值－2， A ( a ，－3)，－3＜－2， (9分) ∴点 A 不在抛物线 C2上. (10分) 【上分攻略】(2)由抛物线的对称性可以看出 x ＝10时，实心球的高度正好是投掷时 出手点的高度2 m，此时实心球没有落地，那么点 C 的横坐标一定大于10，这种快 速解题的方法可以在选填中使用，在解答题中则要写过程，否则也会扣分. 【易错警示】本题中纵坐标表示投掷高度，横坐标表示投掷距离，不要混淆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 20. 新考法[2024河北石家庄新华区期中](12分)某课外小组利用几何画板来研究二次 函数的图象，已知二次函数解析式 y ＝ x2＋ bx ＋ c ，通过输入不同的 b ， c 的值，在 几何画板的展示区内得到对应的抛物线. (1)若输入 b ＝4， c ＝－1，得到如图(1)所示的抛物线.求顶点 C 的坐标及抛物线与 x 轴的交点 A ， B 的坐标. 【解】(1)∵ b ＝4， c ＝－1，∴二次函数解析式为 y ＝ x2＋4 x －1. (1分) ∵ y ＝ x2＋4 x －1＝( x ＋2)2－5，∴顶点 C 的坐标为(－2，－5). (2分) 令 x2＋4 x －1＝0，则 x ＝－2± ， ∴抛物线与 x 轴的交点 A ， B 的坐标分别为(－2－ ，0)，(－2＋ ，0). (4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)已知点 P (－1，10)， Q (4，0). ①若输入 b ， c 的值后，得到如图(2)的抛物线恰好经过 P ， Q 两点，求出 b ， c 的值. 【解】①∵抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 恰好经过 P ， Q 两点， P (－1，10)， Q (4，0)， ∴ 解得 (8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 ②淇淇输入 b ，嘉嘉输入 c ＝－2，若得到抛物线与图(2)中的线段 PQ 有公共点，直 接写出淇淇输入的 b 的取值范围. 【解】② b ≤－11或 b ≥－ . (12分) ∵抛物线与线段 PQ 有公共点， ∴当 x ＝－1时， y ≥10或当 x ＝4时， y ≥0，∴1－ b －2≥10或16＋4 b －2≥0，解 得 b ≤－11或 b ≥－ . 【上分攻略】(2)②这种直接写出答案的问题，考试中不需要浪费时间写过程，写 错还会扣分. 【关键点拨】解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 21. [2024四川成都青羊区期末](12分)直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多 的人所接受.近年来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地. 某农户在直播间销售一种成本为10元/kg的农产品，经调查发现，该农产品每天的销 售量 y (kg)与销售单价 x (元)( x ≥10)满足如图所示的函数关系(销售单价不超过40 元)，设销售这种商品每天的利润为 W (元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (1)求 W 与 x 之间的函数关系式. 【解】(1)当10≤ x ≤20时， y ＝200， ∴ W ＝( x －10) y ＝200( x －10)＝200 x －2 000. (2分) 当20＜ x ≤40时，设 y 与 x 的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0). ∵点(20，200)，(25，180)在该函数图象上， ∴ 解得 ∴当20＜ x ≤40时， y 与 x 的函数关系式为 y ＝ －4 x ＋280，∴ W ＝( x －10) y ＝( x －10)(－4 x ＋280)＝－4 x2＋320 x －2 800. (4分) 综上所述， W 与 x 之间的函数关系式为 W ＝ (5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 【思路分析】(1)先根据图象用待定系数法求出 y 与 x 的函数关系式，再根据总利润 ＝每千克的利润×销售量，列出 W 与 x 之间的函数关系式，最终用分段函数的形式 表示出来； 【上分攻略】(1)分段函数要写成答案中这种带大括号的形式，且因为是分段函 数，因此一定要写出自变量在每一段的取值范围，否则扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)若销售单价不低于15元/kg，且每天至少销售140 kg，求 W 的最大值. 【解】(2)根据题意得 解得15≤ x ≤35. (7分) ①当15≤ x ≤20时， W ＝200 x －2 000，∴当 x ＝20时， W 有最大值，最大值为 2 000. (9分) ②当20＜ x ≤35时， W ＝－4 x2＋320 x －2 800，抛物线的对称轴为直线 x ＝－ ＝40，－4＜0，∴当 x ≤40时， W 随 x 的增大而增大， (11分) ∴当 x ＝35时， W 有最大值，最大值为3 500. 综上， W 的最大值为3 500. (12分) 【思路分析】(2)先根据题意求出 x 的取值范围，再根据(1)中解析式分段求出函数 的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 22. 探究性问题 [2024河南开封期末](14分)综合与探究：如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D ，已 知 A (－1，0)， C (0，2). (1)【小试牛刀】求抛物线的解析式. 【解】(1)∵ A (－1，0)， C (0，2)在抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 上， ∴ 解得 (2分) ∴此抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋ x ＋2. (3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (2)【深入探究】点 E 是线段 BC 上的一个动点(不与 B ， C 重合)，过点 E 作 x 轴的 垂线与抛物线相交于点 F ，求出线段 EF 的最大值及此时 E 点的坐标. 【解】(2)令 y ＝0，有－ x2＋ x ＋2＝0，解得 x1＝－1， x2＝4，∴ B (4，0). (5分) ∵ C (0，2)，设直线 BC 解析式为 y ＝ kx ＋ m ( k ≠0)，则 解得 ∴直线 BC 解析式为 y ＝－ x ＋2. (6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 设 E ，则 F ， ∴ EF ＝ － ＝－ x2＋2 x ＝－ ( x －2)2＋2(0＜ x ＜4). (7分) ∵ a ＝－ ＜0，∴当 x ＝2时，线段 EF 的值最大，最大值为2，此时 E 点的坐标为 (2，1). (8分) 【上分攻略】(2) A (－1，0)， A 点在 B 点左侧，故 B 点横坐标为4. 此问有2个问 题，不要漏写 E 点的坐标，否则扣分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 (3)【类比延伸】在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使△ PCD 是以 CD 为腰的等腰 三角形？如果存在，求出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【解】(3)存在点 P ，使△ PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形. (9分) ∵ y ＝－ x2＋ x ＋2＝－ ＋ ，∴对称轴为直线 x ＝ ，∴ D . ∵ C (0，2)， D ， ∴ CD ＝ ＝ . (11分) 设 P ，∴ CP ＝ ， DP ＝｜ n ｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 当 CD ＝ CP 时， ＝ ，解得 n ＝4或 n ＝0(舍去)，∴ P ； (12分) 当 CD ＝ DP 时， ＝｜ n ｜，解得 n ＝ 或 n ＝－ ，∴ P 点坐标为 或 . 综上所述，满足条件的 P 点坐标为 或 或 . (14分) 【关键点拨】可设出 P 点坐标，分别求出 PC ， PD 和 CD 的长，分 PD ＝ CD ， PC ＝ CD 两种情况讨论，即可求得 P 点坐标. 【上分攻略】(3)注意分类讨论，点 P 的坐标有3个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回目录 $$