第19讲 二次根式的乘除（5大考点+13种题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

第19讲 二次根式的乘除 1.理解·＝（a≥0，b≥0），＝·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简； 2.经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则； 3.在具体的计算过程中讨论交流，总结公式，体会“数学知识来源于实践”的理念． 一、二次根式的乘法 1.二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0） 2.易错警示:不要把字母表示正数误认为含该字母的式子的值就是正数. 二、积的算术平方根 1.积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0） 2.易错警示:积的算术平方根性质中的乘积中的每个因式可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式,都必须满足因数(式)都是非负数，才能运用性质进行化简或计算. 三、二次根式的除法 二次根式的除法法则： 2.易错警示: (1)在中,特别注意b>0,若b=0,则式子无意义; (2)二次根式的运算结果要化到最简; (3)如果被开方数是带分数,应先将它化成假分数,以免出现类似这样的错误; (4)如果是几个二次根式相除,应按除法法则依次计算，也可以把除法转化为乘法来计算. 四、商的算数平方根 五、最简二次根式 1.定义:如果一个二次根式满足以下三个条件,那么这个二次根式叫做最简二次根式:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (2) 被开方数中不含分母;(3)分母中不含有根号 【要点归纳】 最简一次根式必须满足: (1)被开方数中每个因数(式)的指数都小于2,即每个因数(式)的指数都是1; 2)被开方数不含分母; (3)分母中不含有根号是指分母是整数或整式. 2.二次根式化简成最简二次根式的步骤 (1)“一分”,即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式; (2)“二移”,即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替,移到根号外,其中把根号内的分母中的因数(式)移到根号外时,要注意应写在分母的位置上; (3)“三化”,即化去被开方数中的分母. 3.易错警示: (1)分母中含有根号的式子不是最简二次根式; (2)二次根式化简时,容易忽视隐含条件,将负数移到根号外. 题型一：利用二次根式的乘法法则进行二次根式的乘法运算 两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方;当二次根式根号外有因数(式)时，将根号外的因数(式)相乘作为积的“系数”，被开方数与被开方数相乘作为积的被开方数. 1．（2023春•射阳县校级期中）计算的结果是　　 A． B． C． D．3 2．（2023春•太仓市期末）计算：　　． 3．（2023春•沛县期末）计算：　　． 4．（2023春•徐州期末）计算：　　． 5．（2023春•海安市月考）计算：　　． 6．（2023春•滨海县月考）计算： （1）； （2）． 题型二：利用二次根式的乘法解决实际问题 利用二次根式的乘法解决问题时，问题中的已知量是无理数，在计算时要运用到二次根式的乘法法则. 7． （2023春•宿豫区期末）直角三角形的两条直角边长分别为、，则这个直角三角形的面积为　　． 8．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）一个矩形的长和宽分别是 ，，则它的面积为 ． 题型三：利用积的算术平方根进行化简 在逆用二次根式的乘法法则即积的算术平方根的性质时，要注意以下两点: (1)注意被开方数(式)的范围; (2)注意被开方数(式)一定是乘积的形式，不要出现“”这样的错误 9．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 10．（2023春•亭湖区校级期中）已知，，用只含，的代数式表示，这个代数式是 　　． 题型四：利用积的算术平方根确定字母的取值范围 运用积的算术平方根性质时一定要注意公式成立的条件不能出现 的错误 11．若，则　　 A． B． C． D．为一切实数 12．（2023春•沭阳县期末）若等式成立，则字母应满足条件　 　 题型五：利用二次根式的乘法法则进行较复杂的二次根式乘法运算 二次根式的乘法运算过程的实质是二次根式的乘法法则的正用与逆用的一个综合过程，它不仅能简单地将两个被开方数相乘，而且能将所得的积化简. 13．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 14．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）计算： ． 题型六：利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简. 15．（23-24八年级下·全国·课后作业） ． 16．（2023春•南京期末）计算的结果是 　　． 17．（2023春•宝应县期末）若无理数与的积是一个正整数，则的