第03讲 不等式及其性质（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第03讲 不等式及其性质（精讲） ①不等式性质的简单应用 ②比较数（式）的大小 ③利用不等式的性质求代数式的取值范围 ④不等式的综合问题 一、必备知识整合 1.比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 1.作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 二、考点分类精讲 【题型一 不等式性质的简单应用】 应用不等式性质解决问题的一般思路 1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2．充分利用基本初等函数性质进行判断． 3．小题可以用特殊值法做快速判断． 【典例1】（单选题）（2023·湖北武汉·模拟预测）下列不等式正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 一、单选题 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京房山·期末）已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·一模）已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知且，则（    ） A． B． C． D． 【题型二 比较数（式）的大小】 比较两个数或代数式的大小的四种方法 (1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分． (2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数． 步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论． (3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较． (4)中间值法：利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小． 【典例1】（单选题）（2023高三·全国·专题练习）已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（　　） A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N 【典例2】（单选题）（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（    ） A． B． C． D． 【典例3】（单选题）（23-24高一下·福建·期中）三个数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川资阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广东·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）若正实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围】 利用不等式的性质求代数式的取值范围的一般思路 1．判断不等式是否成立的方法 (1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件． (2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案