精品解析：北京市第八十中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2023～2024学年第二学期期中考试 高二数学 2024年4月 班级______姓名______考号______ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3. 已知，若，则的取值可以为（ ） A 2 B. 1 C. D. 4. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）. A B. C. D. 5. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，仅有两人报同一项目的报名方法种数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 6. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 15 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P a b A. B. C. D. 9. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ） A 12个 B. 10个 C. 8个 D. 7个 10. 已知函数， 现给出如下命题: ① 当时，； ②在区间上单调递增； ③在区间上有极大值； ④ 存在，使得对任意，都有. 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的二项展开式中的系数为______. 12. 若10个篮球中有7个已打足气，3个没有打足气．已知小明用打足气的篮球投篮，命中率为，用没有打足气的篮球投篮，命中率为，则小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为________． 13. 小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为______． 14. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____________． 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间和极值. 17. 甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． （1）求乙队以的比分获胜的概率； （2）设确定比赛结果需要比赛局，求分布列． 18. 第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表： 12月16日 星期六 9:30 单人雪橇第1轮 10:30 单人雪橇第2轮 15:30 双人雪橇第1轮 16:30 双人雪橇第2轮 12月17日 星期日 9:30 单人雪橇第3轮 10:30 单人雪橇第4轮 15:30 团体接力 （1）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率； （2）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望； （3）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，“” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，大小关系． 19. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数） 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）写出实数的一个值，使得恒成立，并证明． 21. 已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集