专题3 与圆有关的轨迹问题-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (苏教版2019)

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 3 专题3 与圆有关的轨迹问题 刷难关 2 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 1.[山东菏泽2024高二月考] 已知是圆上的动点，是圆的切线， ， 则点 的轨迹方程是( ) A A. B. C. D. 题型1 几何法求轨迹问题 4 解析 因为圆，所以圆心，半径 ，由勾股定理得 ，所以，所以点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，所 以点的轨迹方程是 .故选A. 题型1 几何法求轨迹问题 5 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 2.若是圆的内接三角形，且， ，则 的中点 的轨迹方程为( ) D A. B. C. D. 题型1 几何法求轨迹问题 7 解析 , , ， ， 线段的中点D的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆. 线段 的中点D的轨迹方程 是 .故选D. 题型1 几何法求轨迹问题 8 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 3.经过圆外一点作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，实数, 满足的关系式为( ) D A. B. C. D. 题型1 几何法求轨迹问题 10 解析 设圆为圆C，由圆的方程可知圆心为，半径，设过 的 圆的两条切线与圆分别相切于点A,，，，， 四边形为正方形.，即点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆， ，故选D. 题型1 几何法求轨迹问题 11 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 4.正三角形的边长为1，动点满足，且，则点 的轨迹是 ( ) D A.线段 B.直线 C.射线 D.圆 题型1 几何法求轨迹问题 13 解析 由题可知，， ， . 又, , ，即 , 点C的轨迹是圆. 题型1 几何法求轨迹问题 14 【多种解法】由题可知， . 如图，以为原点,所在直线为轴，过点且与垂直的直线为 轴建 立平面直角坐标系， ,.设 ， 则 , 又 , ,整理得 , 点 的轨迹是圆.故选D. 题型1 几何法求轨迹问题 15 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 5.[广东广州2024高二期中] 若圆与圆的公共弦 的长 为1，则下列结论正确的有( ) C A. B. C.中点的轨迹方程为 D.中点的轨迹方程为 题型2 代数法求轨迹问题 17 解析 因为两圆有公共弦,所以弦心距满足,即 .两圆方程相减 可得直线的方程为，即 . 因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦的长为1，则 到直线 的距离为，所以，解得 ，满足要求，故A,B 错误. 由圆的性质可知直线垂直平分线段，所以到直线 的距离即 为中点与点的距离，设中点坐标为，因此 ，即 ，故C正确，D错误.故选C. 题型2 代数法求轨迹问题 18 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 6.[河南南阳一中2024高二月考] 已知圆，，是圆上两点，点 满足 ，则线段中点 的轨迹方程是_ ________________. 题型2 代数法求轨迹问题 20 解析 连接,,.易知点在圆内，又,所以直线 不过圆心 .如图所示，是线段的中点，则 . 因为，所以，在中， ， ， ，由勾股定理得 ，整理得的轨迹方程是 . 题型2 代数法求轨迹问题 21 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 7.已知中，，为的中点，，则 面积的最大值为___. 6 解析 以点为坐标原点，所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所 示. 则，，设 . 因为，为的中点，所以,即 ,即 .所以点的轨迹是圆心为，半径为2的圆（不含与 共线的两点）. 所以,即 面积的最大值为6. 题型2 代数法求轨迹问题 23 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 8.平面上一动点满足：且，.求动点 的轨迹方程. 【解】设，由 ， 得，整理得 ， 即动点的轨迹方程为 . 题型2 代数法求轨迹问题 25 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 9.[山西太原五中2024高二月考] 已知点，点是圆上的一个动点，则线段 的中点 的轨迹方程是( ) A A. B. C. D. 题型3 相关点法求轨迹问题 27 解析 设点的坐标为，因为点是线段的中点，可得，点 在圆上，所 以，即 .故选A. 题型3 相关点法求轨迹问题 28 专题3 与圆有关的轨迹问题 主讲老师 10.[河北秦皇岛2024高二月考] 在①过点;②圆恒被直线 平分;③ 与 轴相切，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆经过点， ，且____. （1）求圆 的一般方程； 题型3 相关点法求轨迹问题 30 【解】方案一：选条件①. 设圆的方程为 ， 则解得 则圆的一般方程为 . 方案二：选条件②. 直线恒过点 . 因为圆恒被直线平分，所以直线恒过圆心 ， 所以圆心坐标为 ， 又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的标准方程为 ，一般方 程为 . 题型3 相关点法求轨迹问题 31 方案三：选条件③. 设圆的方程为 . 由题意可得 解得 则圆的标准方程为，一般方程为 . 题型3 相关点法求轨迹问题 32 （2）设是圆上的动点，求线段的中点 的轨迹方程. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 设 . 因为点为线段的中点，所以 ， 因为点是圆上的动点，所以，即 ， 所以点的轨迹方程为 . 题型3 相关点法求轨迹问题 33 $$