第2章 专题3 求离心率的值或取值范围-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 3 专题3 求离心率的值或取值范围 刷难关 2 1.[黑龙江齐齐哈尔2024高二期中] 已知椭圆的右焦点为，上顶点为 ， 直线与相交的另一点为，点在轴上的射影为点，为坐标原点.若，则 的 离心率是( ) B A. B. C. D. 题型1 求离心率的值 3 解析 由题意得,，设 . 因为，所以 ， 所以，则有即 . 因为点在椭圆 上， 所以，化简得，所以离心率 .故选B. 题型1 求离心率的值 4 2.[河北示范性高中2024高二期中] 双曲线的左、右焦点分别为, ， 直线过且与双曲线右支交于点，原点到直线的距离为，且，则双曲线 的 离心率为( ) D A. B. C.2 D. 题型1 求离心率的值 5 解析 如图. 由题意得，故 ， 由双曲线定义得，所以，在 中，由余弦 定理得 ， 化简得，又，所以 ， 方程两边同时除以，得，解得，所以离心率 .故选D. 题型1 求离心率的值 6 3.已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为 的直线交双曲线右 支于点，且满足（ 为原点）为等腰三角形，则该双曲线的离心率为( ) A A. B.2 C. D. 题型1 求离心率的值 7 解析 设双曲线的右焦点为,连接，如图所示. 在双曲线的右支上， . 双曲线的左焦点，且 为等腰三角形， ， ， , . 又 ， 为等边三角形，则 ， ， . 在中，，,可得 ， ,即, . 题型1 求离心率的值 8 【多种解法】如图所示，过点作轴于点 . 双曲线的左焦点，且 为等腰三角形， ， ， ， . 在中，，，则 . 点在双曲线 上， ,化简得 , ,即 ,等式两边同除 以，得 . 令，即,解得,即 , , .故选A. 题型1 求离心率的值 9 4.[四川成都七中2024高二期中] 已知椭圆方程为，长轴为 ，过椭圆 上一点向轴作垂线，垂足为.若 ，则该椭圆的离心率为( ) B A. B. C. D. 题型1 求离心率的值 10 解析 设，,,则， ， 则，， ,所以 ， 且，所以，即 ， 代入椭圆方程可得，化简可得 ，则离心率 .故选B. 题型1 求离心率的值 11 5.已知椭圆和双曲线的焦点相同，, 分 别为左、右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点.若 轴，则椭圆和双曲线的离心率之 积为___. 1 解析 设，由题可知， . 因为轴，所以 ，所以椭圆和双曲线的离心率之积为 . 题型1 求离心率的值 12 【归纳总结】1.与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的解题方法 （1）结合定义，利用图形中几何量之间的大小关系求解； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线上等）列出所讨论的离心率 适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出离心率的值或取值范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数,一个适当的参数作为自变量来表示这个 函数，通过讨论函数的值域来求离心率的值或取值范围; （4）利用代数基本不等式:代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）构造一个一元二次方程，利用判别式大于或等于0求解. 题型1 求离心率的值 13 2.解有关圆锥曲线的问题时所使用的数学思想方法 （1）数形结合的思想方法.一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种 量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由 代数量确定几何特征;三要注意用几何方法直观解题. （2）转化的思想方法,如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问 题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化. （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元 二次函数知识等. （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等. 题型1 求离心率的值 14 6.（多选）[辽宁锦州2023高二月考] 已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 点是椭圆上一点，， ，则椭圆离心率的取值可能为 ( ) AB A. B. C. D. 题型2 求离心率的取值范围 15 解析 设，，由椭圆的定义可得，可设 ，则 ，即有 . 由得，，即 . 由可得，令，可得 ， ，，，即有 , ，解得 . 故选 . 题型2 求离心率的取值范围 16 【思路导引】 设,则，根据椭圆定义得到 根据，得到，利用勾股定理得到 联立①②可得 ，然后利用换元法求离心率的范围即可 题型2 求离心率的取值范围 17 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为 的 直线与双曲线的右支交于， 两点，则该双曲线的离心率的取值范围为______. 解析 双曲线的渐近线方程为 ， 由于过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于， 两点，则 ，因此，又 ，所以 该双曲线的离心率的取值范围是 . 题型2 求离心率的取值范围 18 8.[江苏常州一中2024高二期中] ,分别为双曲线的左、右焦点， 为 双曲线左支上的任意一点.若的最小值为，则双曲线的离心率 的取值范围是______. 解析 因为,是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，所以 ， 代入 ， 得，当且仅当 时取 等号，又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，所以 ,所以 . 题型2 求离心率的取值范围 19 9.[江西南昌2024高二月考] 已知椭圆的右焦点为,上的, 两点关于 原点对称，，且，则椭圆 的离心率的取值范围是_______. 题型2 求离心率的取值范围 20 解析 设椭圆的左焦点为，连接,,如图，则 . 因为,两点关于原点对称，所以四边形 为平行四边形. 由，得，，且 . 在中， ,所以 ，则 . 由得,整理得，又 , 且,所以 . 题型2 求离心率的取值范围 21 【规律方法】求离心率的常用方法 （1）构造,的齐次式，解出 根据题设条件，借助,,之间的关系，构造,的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 的一 元方程，从而解得离心率 . 比如专题3中的第3题. （2）通过求定点坐标——根据点在曲线上求解离心率 标准方程是圆锥曲线的量化体现之一，点 在圆锥曲线上，除了满足圆锥曲线的定义外,其 坐标也应满足曲线的方程,因此用,,刻画点 的坐标后,将其代入曲线方程也是解决离心率问题的 有效途径之一. 比如专题3中的第1题、第4题. 题型2 求离心率的取值范围 22 （3）利用圆锥曲线定义求离心率.比如专题3中的第2题、第3题. （4）利用平面几何的性质 很多离心率问题是以平面图形为载体出现的，平面图形背后有一些隐含的性质，比如三角形面积 的等价转化，三角形两边之和大于第三边，垂线段最短等. 比如专题3中的第5题、第7题、第8题. （5）以 为函数式，利用配方、换元等方法求函数的值域，也是求离心率常用的方法. 比如专题3中的第6题、第9题. 题型2 求离心率的取值范围 23 $$