专题9.2 用样本估计总体（5知识点+15考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题9.2 用样本估计总体 知识点一 总体取值规律的估计 1．频率分布直方图 (1)纵轴表示，即小长方形的高＝； (2)小长方形的面积＝组距×＝频率； (3)各个小方形的面积总和等于1. 2．频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 知识点二 总体百分位的估计 百分位：一般地，一组数据的第p百分位是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值. 知识点三 总体集中趋势的估计 1.众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 2.中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 3.平均数：反应一组数据的平均水平； 4．频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 知识点四 总体离散程度的估计 1.方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n 2]或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 2.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算 s＝ 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小. 3.总体方差与总体标准差 知识点五 茎叶图、条形图、折线图及扇形图 1.茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． ①“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置的数字位数一般不需要统一； ②茎叶图上重复出现的数据要重复记录，不能遗漏. 2.条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图． 3.折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图． 4.扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图． 考点01 确定极差、组数与组距 【典例1】（2023高三·全国·专题练习）有40个数据，其中最大值为35，最小值为14，若取组距为4，则分成的组数是 【典例2】（21-22高二·全国·课后作业）数据65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的极差为 ． 【总结提升】 (1)求极差：即一组数据中最大值和最小值的差． (2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数__越多__；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组． (3)将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． 考点02 绘制、补全频率分布表 【典例3】（21-22高一·全国·课后作业）从总体中抽取容量为100的样本，填写频率分布表： 分组 累积频数 频数 频率 [2.5，3.5） 12 [3.5，4.5） 20 [4.5，5.5） 31 [5.5，6.5） 53 [6.5，7.5） 72 [7.5，8.5） 86 [8.5，9.5] 100 【典例4】（22-23高一·全国·课堂例题）下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的60天读者借书量（单位：册），并排序如下： 213    230    239    289    291    301    30