专题3 数列的综合应用-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 3 专题3 数列的综合应用 刷难关 2 1.数列的最大项为第项，则 ( ) C A.4或5 B.5 C.5或6 D.6 题型1 数列与函数、不等式的综合 3 解析 令,则，则 . 故当时，数列 单调递增；当时，数列 单调递减,所以第5 或第6项是数列的最大项，故选C. 题型1 数列与函数、不等式的综合 4 2.已知数列满足，且.若恒成立，则 的最小值 是( ) C A.2 B. C. D.3 题型1 数列与函数、不等式的综合 5 解析 因为数列满足，且 , 所以 时， . 因为恒成立，所以，也成立，所以的最小值是 ，故选C. 题型1 数列与函数、不等式的综合 6 3.[安徽合肥2023开学考] 已知数列的通项公式为，数列的前项和为 .若对 任意的正整数，不等式恒成立，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型1 数列与函数、不等式的综合 7 解析 ， 数列 为递增数列. 若对任意的正整数，不等式恒成立，则当为奇数时， ，故 ，即 ； 当为偶数时，，故，即.综上所述,实数的取值范围是 .故选B. 题型1 数列与函数、不等式的综合 8 4.[甘肃庆阳2024高二期中] 已知数列满足， . （1）证明：存在等比数列，使 ； 【证明】由已知 ， 得 ， 所以 ， 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ， 所以当时，，此时 ， 即 是以3为首项，3为公比的等比数列. 题型1 数列与函数、不等式的综合 9 （2）若，求满足条件的最大整数 . 【解】由（1）得 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 则 ， 解得 ， 所以 的最大值为2 022. 题型1 数列与函数、不等式的综合 10 5.已知是一个公差大于0的等差数列，且满足， . （1）求数列 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为，则依题设知 . 由，得， 由，得 ，② 由①得，将其代入②得,即 ，整理得 . 又，.代入①得， . 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 11 （2）若数列和数列满足等式为正整数，求数列的前 项和 . 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 12 [答案] 令，则，且 ，两式相减得 ，由（1）得，，则，即 ，即当 时， . 又当时， ， 当时， ; 当 时， ，即 . 当时也满足上式， . 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 13 6.[课标全国Ⅱ理2019·19,12分] 已知数列和满足， ， ， . （1）证明：是等比数列， 是等差数列； 【证明】由题设得,即 . 又因为,所以是首项为1，公比为 的等比数列. 由题设得,即 . 又因为，所以 是首项为1，公差为2的等差数列. 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 14 （2）求和 的通项公式. 【解】由（1）知，, . 所以， . 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 15 $$