专题2 数列求和-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 2 专题2 数列求和 刷难关 2 1.在等差数列中， ，则此数列前13项的和是( ) B A.13 B.26 C.52 D.56 题型1 公式法求和 3 解析 由等差数列的性质可得， ， 代入已知可得 ， 即，故此数列的前13项的和为 . 故选B. 题型1 公式法求和 4 2.[甘肃西北师大附中2024高二期末] 在数列中，， ，则数列 的前项和 ___________. 题型1 公式法求和 5 解析 因为 ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以数列 是以3为首项，4为公比的等比数列， 所以 ， 故 ， 则 . 题型1 公式法求和 6 【归纳总结】公式法是数列求和最常用的方法之一，可直接利用等差数列的前 项和公式 ，等比数列的前项和公式 求和. 题型1 公式法求和 7 3.已知某数列的通项则 ( ) D A.48 B.49 C.50 D.51 题型2 倒序相加法求和 8 解析 令函数，则 ,所以 . 所以,令，则 ，则有 ，所以 .故选D. 题型2 倒序相加法求和 9 【规律方法】如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒 序相加法求数列的前 项和. 题型2 倒序相加法求和 10 4.[河南新乡一中2024高二月考] 已知函数满足.若数列 满足 ，则数列 的前16项和为____. 76 题型2 倒序相加法求和 11 解析 由 ，① 得 ，② 又因为 ， 所以由得，所以 ， 所以的前16项和 . 题型2 倒序相加法求和 12 5.[安徽马鞍山二中2023高二期中] 已知数列的前项和为， ， ，则 ( ) A A.675 B.674 C.1 384 D.2 023 题型3 并项求和法 13 解析 .故选A. 题型3 并项求和法 14 6.已知函数且，则 ( ) B A.0 B.100 C. D.10 200 题型3 并项求和法 15 解析 , 由已知条件得， 即 , 当为奇数时，, .故选B. 题型3 并项求和法 16 7.数列的通项公式为，前项和为，则 ( ) B A. B.4 950 C. D.5 050 题型3 并项求和法 17 解析 .故选B. 题型3 并项求和法 18 【规律方法】若数列中相邻两项或几项的和是同一常数或有规律可循（如构成某个特殊数列）,采 用并项求和法进行数列求和比较简便. 题型3 并项求和法 19 8.已知数列的通项公式是 ，则其前20项和为( ) B A. B. C. D. 题型4 分组求和法 20 解析 数列 的前20项和 .故选B. 题型4 分组求和法 21 9.[甘肃张掖重点中学2024高二月考] 等差数列中，， . （1）求数列 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为 . 由已知得解得 所以 . 题型4 分组求和法 22 （2）设，求 的值. [答案] 由（1）可得 , 所以 . 题型4 分组求和法 23 【规律方法】一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的,则求和 时可以用分组求和法，分别求和后相加. 题型4 分组求和法 24 10.[北京人大附中2023高二期中] 已知数列的前项和为，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型5 裂项相消法求和 25 解析 由 ， 得，因为对任意的 ，不等 式恒成立，所以，解得或 .故选A. 题型5 裂项相消法求和 26 【规律方法】若数列的通项公式可拆成结构相同的两式之差，则数列的前 项和可用裂项相消法 求解.使用此方法时必须注意消去了哪些项,保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点， 必要时可以多写出前后几项，观察哪些项消去了，哪些项保留了，避免出错. 题型5 裂项相消法求和 27 11.已知正项数列是公差不为0的等差数列，，，成等比数列.若 ，则 ( ) A A. B. C. D. 题型5 裂项相消法求和 28 解析 设正项等差数列的公差为，且，，，成等比数列， ，即 ，整理得 . 又， . ， 即，即 . 又， .故选A. 题型5 裂项相消法求和 29 12.[甘肃白银2024高二期末] 已知数列的通项公式为，其前项和为 . （1）若，求正整数 ； 【解】由，知, ， 所以数列是首项，公差 的等差数列， 则 ， 令，解得或 ， 因为是正整数，所以 . 题型5 裂项相消法求和 30 （2）若，求数列的前项和 . [答案] ， 所以 ， 即数列的前项和 . 题型5 裂项相消法求和 31 13.[天津外国语大学附属外国语学校2023高二期末] 已知数列的通项公式为 ， ，则数列 的前100项之和为( ) B A. B. C. D. 题型6 错位相减法求和 32 解析 设数列的前项和为，因为，所以 ，则有 ，两式相减得， ， 所以，则有，所以数列的前100项之和为 .故选B. 题型6 错位相减法求和 33 【规律方法】如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前 项和可用错位相减法求解. 题型6 错位相减法求和 34 14.[甘肃西北师大附中2024高二期末] 已知数列的前项和为，且 ， 在数列中，，且满足 . （1）求数列， 的通项公式； 【解】由，得 ， 两式相减得，即 ， 又, , 是以2为首项，2为公比的等比数列， . ,,又 , 是以1为首项，2为公差的等差数列， . 题型6 错位相减法求和 35 （2）记，求 . [答案] ,① ,② 得, , . 题型6 错位相减法求和 36 15.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，此数列第一项是 ，接 下来两项是，，再接下来三项是，，，依此类推，设是此数列的前 项和，则 ( ) A A. B. C. D. 题型7 转化法求和 37 解析 将数列分组：第一组有一项，是，和为 ； 第二组有两项是，，其和为，依此类推，第组有项，是，， ， ，其和 为，则前63组共有 （项）， ，故选A. 题型7 转化法求和 38 16. ( ) D A. B. C. D. 题型7 转化法求和 39 解析 由题意可设，则数列 的前10项和 . 故选D. 题型7 转化法求和 40 17.（多选）[广东佛山南海一中2024高二大测] 已知数列的前项和 ，则 ( ) BC A.不是等差数列 B. C.数列是等差数列 D. 题型8 绝对值求和 41 解析 由 ，得 当时， ， 当时， ， 当 时，上式也成立， 所以 ，故B正确； 因为，所以 是等差数列，故A错误； 对于C， ， 因为，所以数列 是等差数列，故C正确； 对于D，令，则 ， 所以当时，，当时， ， 故 ，故D错误. 故选 . 题型8 绝对值求和 42 18.已知数列的通项公式为 ，则 ( ) C A.99 B.100 C.101 D.102 题型8 绝对值求和 43 解析 由于，对应的二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ， 所以当时，数列递减，当时， 递增， 且根据对称性可知 . 所以 . 故选C. 题型8 绝对值求和 44 19.[河北秦皇岛一中2023高二月考] 已知正项数列的首项为1，其前项和为 ，满足 . （1）求证：数列{}为等差数列，并求出 ； 【证明】 ， ， ，， ， . 又，}是以1为首项，1为公差的等差数列,， . 题型8 绝对值求和 45 （2）求 ； 【解】由（1）可得， ，又 ， . 题型8 绝对值求和 46 （3）设，求数列的前项和 . 【解】由（2）知， 当时，；当时， . 记数列的前项和为，则 ， 当时， ； 当时，， 题型8 绝对值求和 47 $$