专题1 通项公式的求法-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1 专题1 通项公式的求法 刷难关 2 1.在数列中，.若，，则 的值为( ) B A.9 B.10 C.11 D.12 题型1 累加法 3 解析 由，得，所以,， ， ，所以，又 ，所以 ，又也满足该式，所以 . 由，解得 （负舍）.故选B. 题型1 累加法 4 【归纳总结】形如型的递推数列（其中是关于 的函数）可构造: 将上述个式子两边分别相加,可得 . （1）若是关于 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; （2）若是关于 的指数函数,累加 后可转化为等比数列求和; （3）若是关于 的二次函数,累加后可分组求和; （4）若是关于 的分式函数,累加后可裂项求和. 题型1 累加法 5 2.数列满足，且，则 ( ) B A.19 B.20 C.21 D.22 题型1 累加法 6 解析 根据题意，数列满足，且 ，即 ，变形可得，则有，则，故 ，故选B. 题型1 累加法 7 3.[重庆育才中学2023高二月考] 已知，，则数列的通项公式是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 累乘法 8 解析 由，得，即，则当时， ， ，， ，，由累乘法可得，因为 ，所以 ，又也满足上式，所以 .故选C. 题型2 累乘法 9 【归纳总结】形如型的递推数列（其中是关于 的函数）可构 造: 将上述 个式子两边分别相乘,可得 . 题型2 累乘法 10 4.已知数列满足，，则数列的通项公式是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 累乘法 11 解析 , , 当时，，当时， 也符合上述通项公式, .故选C. 题型2 累乘法 12 5.已知数列的前项和为.若，，则 ( ) D A. B. C. D. 题型3 利用与的关系 13 解析 由，得，所以，又因为，所以 为等 比数列，其中首项为1，公比为3，则,所以 . 故选D. 题型3 利用与的关系 14 6.（多选）[甘肃兰州2024高二期中] 数列的前项和为，已知 ，则下列说法 正确的是( ) BCD A.数列是递增数列 B. C.当时， D.当或4时， 取得最大值 题型3 利用与的关系 15 解析 数列的前项和，当 时， ，而 满足上式，所以 ，B正确； 数列是公差为 的等差数列，是单调递减的，A不正确； 当时， ，C正确； 当时，，即数列 前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负，因此 当或4时，取得最大值，D正确.故选 . 题型3 利用与的关系 16 【规律方法】已知与的关系或与的关系式求时，可利用 代换、 变形求出,注意验证是否满足 . 题型3 利用与的关系 17 7.[湖北武汉华中师大一附中2024高二摸底调研] 已知数列中， 且 ，则 ( ) A A. B. C. D. 题型4 倒数法 18 解析 由得，又 ， 数列是以1为首项，为公差的等差数列，， ， .故选A. 题型4 倒数法 19 【归纳总结】形如为常数且,的递推式,两边同时除以 , 转化为的形式，求出的表达式,再求 ; 还有形如的递推式,也可采用取倒数的方法转化成形式,求出 的表 达式,再求 . 题型4 倒数法 20 8.设数列的前项和为，若其满足，且，则 _ _______________. 题型4 倒数法 21 解析 由，得,是以 为首项，1为公差的等差数列， ， . 当时，， 题型4 倒数法 22 9.[浙江杭州二中2024高二期末] 若数列满足关系式，且，则 ( ) A A. B. C. D. 题型5 构造法 23 解析 因为，所以 ， 所以，又，所以 ， 故数列是以为首项，以 为公差的等差数列， 则，得 ， 所以 .故选A. 题型5 构造法 24 10.[江西景德镇一中2023高二期中] 已知数列中，，，则 ( ) C A. B. C. D. 题型5 构造法 25 解析 由，可得，而，因此数列 是首项 为，公比为4的等比数列，则，即 ，所以 .故选C. 题型5 构造法 26 【归纳总结】类型一：形如且型的递推式,数列 为线性递推数列, 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求. 设,展开移项整理得 与题设 比较系数 （待定系数法）得 ,即数列 构成以为首项，以 为公比的等比数列. 类型二：形如型的递推式,（1）当 为一次函数类型（即等差数列） 时，设,通过待定系数法确定， 的值,转化成以 为首项,以为公比的等比数列 ,再利用等比数列的通项公式求出 的通项公式，整理可得.（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时,设 ,通过待定系数法确定 的值,转化成以为首项,以 为 公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出 的通项公式，整理可 得 . 题型5 构造法 27 11.已知在数列中，，，则 ________. 题型5 构造法 28 解析 ，两边同时除以，得，令 ，则 ，，，则是首项为，公比为 的等比数列.，即，则 . 题型5 构造法 29 【多种解法一】，两边同时加上 ，则 ，令，则 ， ，则是首项为3，公比为3的等比数列.，则 . 【多种解法二】，两边同时除以，得 ，令 ，则， ， 故当时，，， ， ， ，累加得， ， ,当时，也符合此式，则 . 题型5 构造法 30 12.在正项数列中，,,，则的通项公式是 _________. 题型5 构造法 31 解析 对两边同时取常用对数可得 .令 ,则, ，所以 ，所以,故 . 由累乘法可得当时， ,所以 ，又也符合此式，所以 . 题型5 构造法 32 【规律方法】形如 的递推关系，求其通项公式的方法 当,时，对递推式两边取以且为底的对数，得 , 视为一个整体，即转化为（当时，可取 简化 运算）. 题型5 构造法 33 13.数列满足,,,则的通项公式为 ____________. 题型5 构造法 34 解析 由得 . 令，则 . 又,所以 是以1为首项，2为公差的等差数列. 故，即 . 于是当 时， . 当时，满足上式，故 . 题型5 构造法 35 14.已知数列中，,,，求 的通项公式. 【解】由可设，即 ， 则可得或 （所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，，所以是以1为首项， 为公比 的等比数列，则 ， 累加法可得 ，则 .又符合上式，故 . 题型5 构造法 36 $$