第1章高考强化-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教A版2019)

数学 择性必修 第一册 RJA 1 1 第一章高考强化 刷真题 2 1.[全国乙理2022·7，5分] 在正方体中，，分别为， 的中点，则 ( ) A A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面平面 D.平面平面 考点 立体几何中的向量方法 3 解析 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则 , , , ,,,，，则 , ， , ，,,.设平面 的法向量为 ，则有可取，同理可得平面 的一个法 向量为，平面的一个法向量为，平面 的一个法向量为 ，平面的一个法向量为.因为 ，所以平面 与平面 垂直，故A正确； ，所以平面与平面 不垂直，故B错误； 因为与不平行，所以平面与平面 不平行，故C错误； 因为与不平行，所以平面与平面 不平行，故D错误，故选A. 考点 立体几何中的向量方法 4 【多种解法】对于A选项：在正方体中，因为， 分别为 ，的中点，所以，则有 ，又由正方体的性质可得 ，又,从而平面.又因为 平面 ， 所以平面 平面 ，所以A选项正确. 对于B选项：因为平面 平面，由选项A知平面 平面 ，若平面 平面，则 平面 ，显然不成立，所以B选项错误. 对于C选项：由题意知直线与直线必相交，故平面与平面 有公共点，所以C选 项错误. 对于D选项：如图，连接，，，易知平面平面，又因为平面 与平面 有公共点，故平面与平面 不平行，所以D选项错误.故选A. 考点 立体几何中的向量方法 5 2.（多选）[全国新高考Ⅰ2021·12，5分] 在正三棱柱中，，点 满 足，其中， ，则( ) BD A.当时， 的周长为定值 B.当时，三棱锥 的体积为定值 C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，有且仅有一个点，使得 平面 考点 立体几何中的向量方法 6 解析 易知点在矩形 内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时 线段 .当 时，点与点重合，此时的周长为 ;当 时，点为线段的中点，此时, 的 周长为.所以 的周长不是定值， 故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段 ，而 ，又 平面, 平面，所以平面，则有点到平面 的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥 的体积为定值，故B正确． 考点 立体几何中的向量方法 7 对于C，当时，，取，的中点分别为，，则 ， 所以点轨迹为线段 ，不妨建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，,,，则， ， ，所以或．故点, 均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，的中点分别为,,则 ，所 以点轨迹为线段．设，因为，0,，所以,, ， ，因为 平面，所以 ,所以 ，此时点与点重合，故D正确．故选 ． 考点 立体几何中的向量方法 3.[全国新课标Ⅰ2023·18，12分] 如图，在正四棱柱 中， ，.点，，，分别在棱，，， 上， ，, . 考点 立体几何中的向量方法 9 （1）证明: ; 【证明】如图，以,,所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系. 因为,，,,，所以 , ,,,所以,又， ， ，四点不共线，所以 . 考点 立体几何中的向量方法 10 【多种解法】如图，过点作于点，过点作于点 ,在 正四棱柱中，,，点,,,分别在棱 , ,,上，且,,,所以, , 所以四边形,均为平行四边形，所以, ，所以 . 考点 立体几何中的向量方法 11 （2）点在棱上，当二面角为 时，求 . 【解】设，由（1）中建系可知,, ， 则,,.设平面 的法向量为 ， 所以 即取，可得,，所以 . 设平面的法向量为，所以即 取 考点 立体几何中的向量方法 12 ，可得，,所以 . 因为二面角为 ， 所以, ,即 ,解得或，所以点为的中点或的中点，即 . 考点 立体几何中的向量方法 4.[全国乙理2023·19，12分] 如图，在三棱锥中， , ，，，，，的中点分别为,, , ,点在上， . 考点 立体几何中的向量方法 14 （1）证明:平面 ; 【证明】连接， ，如图所示. 设 ，则 ， .因为 ， 所以 , 解得，即，故为的中点.又为的中点，所以， .因为 ，分别为，的中点，所以,，所以, ，所以四边形 为平行四边形，所以.因为 平面， 平面，所以 平面 . 考点 立体几何中的向量方法 15 （2）证明:平面 平面 ; 【证明】由（1）知，, ， , ， 所以，所以 . 因为，所以.又，，， 平面,所以 平面 . 又因为 平面，所以平面 平面 . 考点 立体几何中的向量方法 16 （3）求二面角 的正弦值. 【解】以为原点,所在直线为轴,所在直线为 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则，， ， . 因为 , 即 , 解得 . 设 ， 考点 立体几何中的向量方法 17 由， , 得 解得 故，，， . 取平面的法向量为 . 设平面的法向量为，由 ， ， 考点 立体几何中的向量方法 得 令，则,， . 所以，，所以二面角 的正弦值为 . 考点 立体几何中的向量方法 【多种解法】（3）如图所示，过点作交于点，连接 .由 知，且 ， 又由（2）知，故为二面角 的平面角. 设，连接 . 因为，分别为，的中点，故点为 的重心， 所以，又 ， 所以， . 在和中,由余弦定理得，解得 ，同理可得 考点 立体几何中的向量方法 20 . 故，所以，故,所以 ， 所以 . 在中，，，，所以 ，故 ,即二面角的正弦值为 . 考点 立体几何中的向量方法 5.[全国乙理2022·18，12分] 如图，四面体中， , ,,为 的中点. （1）证明:平面 平面 ; 考点 立体几何中的向量方法 22 【证明】因为在和 中， ，， ， 所以，所以 . 又因为为 的中点， 所以.因为,为的中点，所以 . 又，所以 平面 . 又因为 平面，所以平面 平面 . 考点 立体几何中的向量方法 23 （2）设， ,点在上，当的面积最小时,求与平面 所成 的角的正弦值. 【解】由（1）得，又，所以 为等边三角 形.因为，所以， .因为 ，，所以 是等腰直角三角形，所以 ，.因为，所以 ,于 是在中，设为的边 的高，则由等面积可得 ，即.连接，由（1）知 平面 ，又 平面，所以，于是当时， 的面积最小，此时 ，，，所以此时为线段上靠近点的四等分点.以 为坐标原点建 考点 立体几何中的向量方法 24 立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ， ，所以 ，, . 设平面的法向量为，则即，令 ，则 .所以,，故直线与平面 所成的 角的正弦值为 . 考点 立体几何中的向量方法 6.[全国新高考Ⅰ2021·20，12分] 如图，在三棱锥 中，平面 平面，，为 的中点. （1）证明： ； 【证明】因为，为的中点，所以.又平面 平面， 平面 ，平面 平面，所以 平面.又 平面，所以 . 考点 立体几何中的向量方法 26 （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角 的大 小为 ，求三棱锥 的体积. 【解】如图，取的中点，连接，则 . 过点作交于点，则.所以,, 两两垂 直. 以点为坐标原点，分别以,,所在直线为,, 轴建立空 间直角坐标系 ，如图所示， 则,,, . 设,，又，则，所以 ,,,,, . 设平面的法向量为 ， 考点 立体几何中的向量方法 27 则 令，则,，所以 . 易知平面的一个法向量为，因为二面角的大小为 ，所以 . 又,得，即 ， 所以 . 考点 立体几何中的向量方法 7.[全国甲理2021·19，12分] 已知直三棱柱中，侧面 为 正方形，，，分别为和的中点，为棱 上的点， . （1）证明： . 考点 立体几何中的向量方法 29 【证明】 三棱柱为直三棱柱，, . , . ,， 平面, 平面 ， 又 平面, . 如图，以为原点，，，所在直线分别为，， 轴，建立空间直 角坐标系，设,则,,, , , , , . 考点 立体几何中的向量方法 30 （2）当为何值时，平面与平面 所成的二面角的正弦值最小？ 【解】由（1）知 平面，则为平面 的一个法向量. 设平面的法向量为 ， 由（1）得, , 即 令，则, , . 设平面与平面所成二面角的平面角为 ， , 考点 立体几何中的向量方法 31 , , 当,即时，平面与平面所成二面角的正弦值最小，为 . 考点 立体几何中的向量方法 1 第一章高考强化 刷原创 33 1.（多选）在正方体中，若点,分别是棱, 上的动点（不含所在棱端 点），且有 ,则下列结论正确的是( ) BC A.存在直线与直线 平行 B.直线与直线所成的角可以为 C.直线与平面所成的角的取值范围为 D.直线与平面 可以垂直 34 解析 如图，以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， , 则,,,,, ， . 对于选项A，因为延长后与所在平面 相交，故不存在直线 与直线 平行，A不正确. 对于选项B，因为,，所以, ， 由,可得（负值舍去），所以当时,直线与直线 所成的 角为 ,故B正确. 对于选项C，,设平面的法向量为 ，则有 35 即令,可得 . 又,设直线与平面所成的角为 ,则, , 故当逐渐增大时， 逐渐减小，即直线与平面 所成的角逐渐减小. 当时，，即直线与平面所成的角；当时，直线 与平面 所成的角趋近于直线与平面所成的角，即为0，所以直线与平面 所成 的角的取值范围为 ,故C正确. 对于D,假设直线与平面垂直，则，则,即, , 这样的无实数解，故假设不成立,故D不正确. 故选 . 2.如图所示的多面体中，四边形是菱形且 ， ， 平面，,点为 上的动点. （1）求证：存在点，使得 . 37 【证明】因为四边形是菱形，所以，又 平面, 平面 ,所以 平面 . 又， 平面, 平面,所以平面 . 又,, 平面 , 所以平面平面 ． 又 平面，所以平面 ， 所以平面与必有交点，且该交点为,使 . 38 （2）求二面角 的正弦值. 【解】以为原点，，所在直线分别为,轴，过点在平面 内 作垂直于的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为四边形是菱形，,所以 ，又 ，， 平面，所以，, ， ，,，，， . 设平面的法向量为.则有 39 即 取,则 . 设平面的法向量为，则有 即取,则.则 , ，所以二面角的正弦值为 . $$