第1章素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1 第1章素养检测 刷速度 2 1.数列2，22，222，， 的一个通项公式是( ) D A. B. C. D. 3 解析 根据题意，设数列，99，999，， ，其通项公式是 ，数列2， 22，222，， 的每一项均是数列对应项的，则数列2，22，222，， 的一 个通项公式是 .故选D. 4 2.若等差数列满足，且，则 的最大值为( ) A A.4 B.6 C.8 D.10 5 解析 已知等差数列满足，且，所以 . 又因为，所以，当且仅当 时，等号成立.故选A. 6 3.设等比数列的前项和为,且满足，.若，则数列 的前1 0项和是( ) C A. B. C.25 D.35 7 解析 设等比数列的公比为.由题意知 ， 则 解得所以，所以，所以数列 的前10项和 .故选C. 8 4.[黑龙江牡丹江一中2024高二期末] 两个等差数列和，其前项和分别为， ，且 ，则 ( ) C A. B. C. D. 9 解析 由等差数列的性质可得， .故选C. 10 5.[江西上饶2023高二月考] 正项等比数列的前项和为，， ， 则 ( ) B A.90 B.50 C.40 D.30 11 解析 因为是正项等比数列的前项和，所以 ，所以 . 又因为，，所以, ，所以 ，解得或 （舍）.故选B. 12 6.[江苏南京2024高二月考] 已知数列为等差数列，其首项为1，公差为2，数列 为等比数 列，其首项为1，公比为2.设，为数列的前项和，则当时， 的取值可 以是下面选项中的( ) A A.9 B.10 C.11 D.12 13 解析 因为数列为等差数列，其首项为1，公差为2，所以 . 因为数列为等比数列，其首项为1，公比为2，所以 ， 所以，则 . 因为对任意的，，所以数列 单调递增，因为 ， ，所以当时， . 故选A. 14 7.设正项数列的前项和为，数列的前项积为，且，则 ( ) B A. B. C. D. 15 解析 当时，，解得；当时，由 得 时，即，， 数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，，即 ， 当时， . 经检验，满足 ， ， ,故选B. 16 8.[湖南长沙2024高二期末] 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新 的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中后一项与前一项之差 并不相等，但是逐项之差成等差数列.现有二阶等差数列，其前7项依次为1，2，5，10，17，26， 37，则该数列的第20项为( ) C A.324 B.325 C.362 D.399 17 解析 设该数列为，则由，， ， ， 可知该数列逐项之差构成的数列 成等差数列，首项为1，公差为2，故 ，故，则， ， ， ，，上述 个式子相加，得 ，即 ，故 .故选C. 18 9.[甘肃武威凉州区2024高二期中] 已知正项等比数列满足， ，若设其公 比为，前项和为 ，则( ) ABD A. B. C. D. 19 解析 由题意且，得，解得 （负值舍去），选项A正 确；，选项B正确；，所以 ，选项C错 误；，而，所以,选项D正确.故选 . 20 10.[湖北武汉外国语学校2023高二期中] 已知首项为的等差数列的前项和为 ，公差为 ，且, ，则( ) AC A. B. C. D. 21 解析 对于A：因为,，所以, ，则 解得 ，故A正确；对于B： ，则，故B错误；对于C：因为 ，所以 数列为递增数列，因为，,，即数列 的前8项为负数，从第9项开始， 都为正数，则，故C正确；对于D：，故D错误.故选 . 22 11.[河北石家庄2024高二期中] 如图，由正方形可以构成一系列的长方形， 在正方形内绘出一个圆的 ，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二 个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2， ，其边长依次记为 ， ，， ，得到数列 ，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积 记为，得到数列 ，则下列说法正确的有( ) AB A. B. C. D. 23 解析 由图中数据可得，,， ，由题意可得 . 对于A：，， ，则 ，故A正确； 对于B：，可得 ，则 ，故B正确； 对于C： ， ， ， 故C错误； 对于D： ， 故D错误.故选 . 24 12.[北京一零一中学2023高二期中] 已知数列的前项和为，若，则 ___. 5 25 解析 在中，令可得，即 . 当时， ， 由得，，即,所以 . 由得,，所以数列的周期为2，所以 . 26 13.[浙江浙大附中2023高二期中] 已知等差数列的前项和为，,，则 的 取值范围为______. 27 解析 设等差数列的公差为，所以，由于 , ，所以，且即整理得即 ， 则，由可得，故，即 的取值范围为 . 28 14.设数列的前项和为，且，则数列 的通项公式为____________；若 ，则 的值是___.（答对一空得3分） 5 29 解析 当时， ； 当时，，符合 . 综上，数列的通项公式为 . 当 时， ，不符合题意； 当 时， ，令 ，整理得 ，解得 . 30 15.（本小题满分13分）[河南省实验中学2024高二月考] 已知数列满足 ， ，记 . （1）证明数列 为等差数列； 【证明】 , 又 ， 数列是首项为，公差为 的等差数列. 31 （2）求数列 的通项公式. 【解】由（1）知 ， 又， 数列的通项公式为 . 32 16.（本小题满分15分）已知数列是公比为的等比数列，为的前 项和， ， . （1）求数列 的通项公式； 【解】，，解得或 （舍去），又 ，解得， . 33 （2）若，为数列的前项和，求数列的前项和 . [答案] ， ， . 34 17.（本小题满分15分）[湖南长沙一中2023高二期中] 等差数列满足， . 等比数列为递增数列，且，， . （1）求数列和 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为，由， ， 可得解得故 . 又，，，等比数列为递增数列，故，， .所以，数 列是以2为首项，以2为公比的等比数列,因此 . 35 （2）删去数列中的项（其中，2，3， ），保持剩余项的顺序不变，组成新数列 ，求数列的前10项和 . [答案] 由（1）知，，则数列的前10项为的前15项去掉,,,, 五项 后剩下的项，所以 . 36 18.（本小题满分17分）[浙江大学附属中学2023高二期中] 在, ； , 这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题. 已知数列的前项和是，数列的前项和是 ，________. 37 【解】选条件①：由，可得 ，两式相减可得 ，所以 . 在中，令，可得，所以，所以 是以3为首项，3为 公比的等比数列，.故数列的通项公式为 . 选条件②：由，可得 ，两式相减可得 ，即，所以 ， 在中，令，可得，所以，所以当 时有 ，， ， ，所以，从而有 ，所以 ，，故数列的通项公式为 . （1）求数列 的通项公式； 38 （2）设，数列的前项和为，求 . 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 选条件①：由（1）知 ，所以 ， ，两式相减可得 ，所以 . 选条件②：由（1）知 ，所以 . 39 19.（本小题满分17分）[甘肃西北师大附中2024高二期末] 已知各项均为正数的数列的前 项和为，且， . （1）求数列 的通项公式. 【解】因为，且,所以 ，又 ， 所以数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列， 故，得到 . 当时， ， 又 满足上式， 所以 . 40 （2）若，数列的前项和记为 . （i）求 . [答案] 由（1）知 ， 所以 . 41 （ii）是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由. [答案] 由知，所以 ， 当为奇数时，，即 ， 所以当时，取最大值，为，所以只需 ； 当为偶数时，，即 ， 所以当时，取最小值，为，所以只需 . 可知当 满足，且时符合题意，又 为整数，所以或 . 42 $$