第1章高考强化-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1 第1章高考强化 刷真题 2 1.[全国乙理2022·4，5分] 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一 颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ,,, ,依此类推，其中 .则 ( ) D A. B. C. D. 考点1 数列的概念、递推公式 3 解析 由已知，，，，故 . 同理得， ， 又，故 . 则 ， ，且为正偶数.由上可知， ， 故A错误；，故B错误；，故C错误； ，故D正确.故选D. 考点1 数列的概念、递推公式 4 2.[浙江2022·10，4分] 已知数列满足, ，则( ) B A. B. C. D. 考点1 数列的概念、递推公式 5 解析 由及，得． 又，所以，所以．由于 ，则 ，所以，， ，，累加得 ， 所以，则，所以，．由 ， 可得，即，又,所以 ,则 ，所以，， ， ，累加得 ，故 ，所以 ，， .综上 可知 ，故选B． 考点1 数列的概念、递推公式 6 3.[全国甲理2023·17，12分] 记为数列的前项和，已知, . （1）求 的通项公式； 考点1 数列的概念、递推公式 7 【解】 ， 当时， ， 由得， , 即 . 当时， ; 当时， . 当时， 为常数列， , . 由,当时，, . . 考点1 数列的概念、递推公式 8 （2）求数列的前项和 . [答案] 由（1）知， . ， ， 由得, . 考点1 数列的概念、递推公式 9 4.[全国甲文2023·5，5分] 记为等差数列的前项和.若,,则 ( ) C A.25 B.22 C.20 D.15 考点2 等差数列 10 解析 因为，所以，又，所以.令公差为 ，由 ，解得，所以，故 ，故选C. 考点2 等差数列 11 5.[全国乙理2023·10，5分] 已知等差数列的公差为，集合 .若 ，，则 ( ) B A. B. C.0 D. 考点2 等差数列 12 解析 由等差数列的公差为,可知,所以数列{ 是 周期为3的数列,所以,, 为一个周期的三项.由 可知中只有两个元素,则或或 . ①若 , 即 , 可得或 此时或1,则或,则 . 考点2 等差数列 13 ②同理若 , 可得或 此时或1,则或,则 . ③同理若,可得或 此时或,则或,则 . 综上,可知 .故选B. 考点2 等差数列 14 6.[全国新高考Ⅱ2022·3，5分] 图1是中国古代建筑中的举架结构，,,, 是桁，相邻 桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中,, , 是举，,,,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为,, , .已知,,成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则 ( ) D A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 考点2 等差数列 15 解析 如图，连接，延长与轴交于点，则 .因 为,,成公差为0.1的等差数列，所以 , ，所以, ， ，即, ， .又，所以 ，所以 . 所以 ，解得 ，故选D. 考点2 等差数列 16 7.[北京2021·10,4分] 已知是各项均为整数的递增数列，且 .若 ，则 的最大值为( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 考点2 等差数列 17 解析 要求的的最大值，那么,且 是 公差为1的等差数列，通项,则,令 ,得 ,当时，,,不满足题意.当时，, ,满足题意. 综上， 的最大值为11. 考点2 等差数列 18 8.[全国乙文2022·13，5分] 记为等差数列的前项和.若，则公差 ___. 2 考点2 等差数列 19 解析 由，得，解得 ． 考点2 等差数列 20 9.[全国新高考Ⅰ2020·14，5分] 将数列与的公共项从小到大排列得到数列 ， 则的前 项和为__________. 考点2 等差数列 21 解析 数列表示首项为1，公差为2的等差数列，各项均为正奇数，而数列 表示首 项为1，公差为3的等差数列，各项分别为交替出现的正奇数与正偶数，它们的公共项为数列 中的奇数项，所以是首项为1，公差为6的等差数列，其前 项和 . 考点2 等差数列 22 10.[北京理2019·10,5分] 设等差数列的前项和为，若，，则 __， 的最小值为_____. 0 考点2 等差数列 23 解析 设等差数列的首项为,公差为.由，得 , ,, . 方法一：,， . ， 当或5时，取最小值，为 . 方法二：,，.由得，且 时， ，故当或5时，取最小值，为 . 考点2 等差数列 24 11.［全国新课标Ⅰ，12分］设等差数列的公差为,且.令,记, 分 别为数列,的前 项和. （1）若,,求 的通项公式; 【解】由，得 ， 整理得，所以， . 由，得 ， 整理得，解得或（舍），故 . 考点2 等差数列 25 （2）若为等差数列,且,求 . 考点2 等差数列 26 [答案] 若是等差数列，则 ， 即，所以 ， 所以 ， 整理得，解得或 . ①若，则, ， 由，得，即 ， 解得（舍）或 ； ②若，则, ， 由，得，即 ， 解得（舍）或 （舍）. 综上， . 考点2 等差数列 27 12.[全国新高考Ⅰ2022·17，10分] 记为数列的前项和，已知,是公差为 的等 差数列. （1）求 的通项公式； 【解】由题知，数列是首项为1，公差为的等差数列，所以 ,所以 . 当时,,所以，所以 ，所以 .当时， 满足上式，所以 . 考点2 等差数列 28 （2）证明： . 【证明】由（1）知， ，所以 . 考点2 等差数列 29 13.[全国新课标Ⅱ2023·8，5分] 记为等比数列的前项和，若,,则 ( ) C A.120 B.85 C. D. 考点3 等比数列 30 解析 设等比数列的公比为.因为 ，整理得 ，又，所以 ，即 ，解得 . 又，,所以，故 ，故选C. 考点3 等比数列 31 【多种解法】设等比数列的公比为.根据等比数列前项和的性质得,,, 成等比数列，因为，，即,,,成等比数列，公比为 ， 所以，整理得，解得或.当 时，，不符合题意；当时，即,,, 成等比数列，所以 ，解得 ，故选C. 考点3 等比数列 32 14.[全国甲理2023·5，5分] 设等比数列的各项均为正数，前项和为,若 , ,则 ( ) C A. B. C.15 D.40 考点3 等比数列 33 解析 设等比数列的公比为，由得， ，即 .因为，所以 ，所以 ，所以.因为，所以，所以 ，故 选C. 考点3 等比数列 34 15.[全国乙理2022·8，5分] 已知等比数列的前3项和为168,,则 ( ) D A.14 B.12 C.6 D.3 考点3 等比数列 35 解析 设等比数列的公比为，则 ， ，以上两式联立整理得，解得 ， ，所以 ，故选D. 考点3 等比数列 36 16.[课标全国Ⅱ文2020·6，5分] 记为等比数列的前项和.若, , 则 ( ) B A. B. C. D. 考点3 等比数列 37 解析 设等比数列的公比为，则由解得 所以 ，，所以 ，故选B. 考点3 等比数列 38 17.[北京理2018·4，5分] “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次 得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 . 若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为( ) D A. B. C. D. 考点3 等比数列 39 解析 十三个单音的频率成等比数列，设为，其公比为,, ， 故选D. 考点3 等比数列 40 18.[全国乙理2023·15，5分] 已知为等比数列，,，则 ____. 考点3 等比数列 41 解析 设等比数列的公比为 ，则由题意， 得 解得所以 . 考点3 等比数列 42 【多种解法】根据等比数列的性质得，所以.因为 ，所以 ，所以，所以 . 考点3 等比数列 43 19.[课标全国Ⅰ文2020·16，5分] 数列满足 ,前16项和为540，则 ___. 7 考点3 等比数列 44 解析 当为偶数时, ，所以 . 因为前16项和为540，所以 当为奇数时,，所以, , , , ,将以上各式相加，得 ，所以.所以，解得 . 考点3 等比数列 45 20.[全国新高考Ⅰ2020·18，12分] 已知公比大于1的等比数列满足， . （1）求 的通项公式; 【解】设的公比为.由题设得,.解得（舍去）, .由题设 得.所以的通项公式为 . 考点3 等比数列 46 （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和 . [答案] 由题设及（1）知,且当时， .所以 . 考点3 等比数列 47 21.[北京2022·15，5分] 已知数列的各项均为正数，其前项和 满足 .给出下列四个结论： 的第2项小于3;为等比数列;为递减数列;中存在小于 的项. 其中所有正确结论的序号是________. ①③④ 考点4 数列的综合 48 【思路导引】对于①，令 令 ； 对于②， 两式作差得 不成立； 对于③， ； 对于④，采用“反证法”，先假设数列的所有项均大于或等于 ，再推出与已知矛盾，从而 否定假设 考点4 数列的综合 49 解析 因为，所以，又，所以 ， ，即，解得 ，所以①正确. 当时，由，得，两式作差可得 （提示：利用公式 求解），即，整理得，即 .若数列 为等比数列，则当时，，所以.又 ，所 以数列 不为等比数列,所以②不正确. 由题知，所以，所以，所以数列 为递减数 列，所以③正确. 若数列的所有项均大于或等于，即，取，则 ，于是 ，与已知矛盾，所以中存在小于 的项，所以④正确. 考点4 数列的综合 50 22.[全国新高考Ⅰ2021·16,5分] 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某 条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ，,三种规格的图形，它们的面积之和 ， 以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为___；如果对折次，那么 ______________ . 5 考点4 数列的综合 51 解析 记对折次可以得到不同规格图形的种数为数列，依题意有， ，对折3次， 可以得到，，， 四种规格的图形，即 ；对折4次，可以得到，， ， ，五种规格的图形，即 . 于是数列的通项公式为.记对折次可以得到不同规格图形的面积之和为 ，依题 意有，，， ，于是数 列的通项公式为 . 则 ，所以 ， 考点4 数列的综合 52 两式作差得， ， 所以 . 考点4 数列的综合 23.［全国新课标Ⅱ，12分］已知为等差数列，记, 分别 为数列,的前项和，, . （1）求 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为 . 因为所以， ， . 因为， ，所以 整理得解得 所以的通项公式为 . 考点4 数列的综合 54 （2）证明:当时, . 考点4 数列的综合 55 【证明】由（1）知，所以, 当为奇数时， . 当时，，所以 . 当为偶数时， 考点4 数列的综合 56 . 当时， ， 所以 . 综上可知，当时， . 考点4 数列的综合 24.[全国新高考Ⅱ2022·17，10分] 已知是等差数列， 是公比为2的等比数列，且 . （1）证明： ； 【证明】设等差数列的公差为，等比数列的公比为,则由 ，得 ，即 . 又由，得，即 . 将①代入②，得，即 . 考点4 数列的综合 58 （2）求集合， 中元素的个数. 【解】由（1）可得 . 又，则由 ，得 ，即，所以 .由 ，得，即 . 因为，所以 ,3,4,5,6,7,8,9,10，所以集合中共有9个元素. 考点4 数列的综合 59 25.[全国甲理2022·17，12分] 记为数列的前项和.已知 . （1）证明： 是等差数列； 【证明】依题意，因为，所以 ，① 当时， .② 由可得，，所以,, ,所 以 是等差数列. 考点4 数列的综合 60 （2）若,,成等比数列，求 的最小值. 【解】由（1）可知，数列的公差为1,因为，，成等比数列，所以 ，即 ，解得，所以 又当时，，所以当或时， 取得最小值，即最小值为 . 考点4 数列的综合 61 1 第1章高考强化 刷原创 62 1.已知等差数列的前项和为，且对任意的 ，都有 ，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 63 解析 由整理得， .又 为等差数列，则，故对任意 恒成立，所以 对任意恒成立，即，解得 .故选C. 64 2.已知等比数列的前项和为，数列为等差数列，则的公比 ______. 1或 65 解析 由数列为等差数列得，当时， ， 即，则.又 ，则 ，解得或 . 66 3.已知数列满足,, . （1）求 的通项公式； 【解】由 ， 得 ， 故，由此可得 为常数列， 又，则，即 . 67 （2）求的前项和 . [答案] 由等差数列求和公式，知，记 , 记，则 ， 两式相减得 ， 故 ， 所以的前项和 . 68 4.已知数列满足，，, . 【证明】假设存在某项，则由，知 ，因此， ,与矛盾，所以.所以由 ， 知 . 69 （1）证明：当时， ； [答案] 由，得，所以，所以 ，所以由累 加法得当时， ，当时， , 所以 . 70 （2）若数列的前项和为，且,,成等差数列，证明： . [答案] 由题意得，则，则，即 ， 故，从而 . 由 ， 得 ， 将两式相减，得 . 71 5.已知数列满足, . （1）若，求实数 的取值范围； 【解】由,，得，则.令 ，得 ，即实数的取值范围为 . 72 （2）若当时，都有，求实数 的取值范围； 【解】因为，且，所以，解得 . 又，所以要使,，必须有 . 解，得或 ， 当时，,当时， ,故均满足题意. 综上所述，实数的取值范围为 . 73 （3）设数列满足,，求证：，若，则数列 的项数必 有限. 【证明】问题等价于证明：，任取，则 的某一项必为0. 任取，由，得，从而 ，因此， ，于是有 . 又，所以,所以，所以任取数列的第项作的首项，则 有且 只有项，即 的项数有限. 74 6.已知数列满足,,.若的前项和为，且当时，, 的 等比中项为 . （1）求 的通项公式； 【解】由题意知当时， ， 令，则，又,，则，则 ， 因此，两式相减，得 ， 故，即,又，所以 是以1为公差的等 差数列， 所以 75 （2）若对任意，记时，的个数为，求数列的前 项 和 . 76 [答案] 因为函数图象的对称轴为，所以由 知， 当时，的解集为空集，则，故 ； 当时，，则， ； 当时， ， 又，即，又 ， 所以，即 从第3项开始为公差等于2的等差数列，故 . 又时，满足 ， 所以 77 $$