第1.4节综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教A版2019)

数学 择性必修 第一册 RJA 1 1.4 1.4 空间向量的应用 2 1.4 第1.4节综合训练 刷能力 3 1.已知是空间内一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点 构成的图形是 ( ) C A.圆 B.直线 C.平面 D.线段 4 解析 点构成的图形是经过点，且以 为法向量的平面. 5 2.[山东临沂2024高二期中] 如图，在直三棱柱中，， ， ，,分别是,的中点，则异面直线与 所成角的余弦值为( ) B A. B. C. D. 6 解析 在直三棱柱中，，则以点为坐标原点，， ， 所在直线分别为，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，,0,， ， 所以，，则, . 因此，异面直线与所成角的余弦值为 .故选B. 7 3.[重庆外国语学校2024高二期中] 如图，在平行六面体 中， ，，与交于点 ，则下列说法不正确的 有( ) C A. B.若，则 平面 C. D.若 ，则 8 解析 对于A，因为 ， ， 所以 ， ，所以 ， 因为 ，所以 由选项A知，因为在平行四边形中，，所以四边形 为菱形，所以 ，又因为，, 平面，所以 平面 ， ，所以，所以 ，A正 确; 对于B，连接 ， 9 又因为 平面，所以，因为，，所以 ， 所以,，由于 ，所 以 ， 所以，又因为，所以 ， 又因为，, 平面，所以 平面 ，所以B正确; 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以 ，所以 ，所以C错误; 对于D，设，，因为在菱形中， ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以D正确，故选C. 4.[广东广州2024高二阶段性考试] 已知四棱柱 的底面是边长为2的正方形，侧 棱与底面垂直.若点到平面的距离为，则直线与平面 所成角的余弦值为 ( ) A A. B. C. D. 11 解析 如图，连接交于点，连接,过点作于点，连接， .易得平面 平面，且平面 平面， 平面，所以 平 面，则.设，则, ，则根据三角形面 积公式得，代入解得 （负值舍）. 12 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则,,,,所以 , ， . 设平面的法向量为，则 即令，得平面的一个法向量, , ,，所以直线与平面所成角的余弦值为 ， 故选A. 13 5.（多选）[四川成都七中高新校区2024高二期中] 已知正方体 的棱长为1，点 ，分别是，的中点，在正方体内部且满足 ，则下列说法正 确的是 ( ) ABD A.直线 平面 B.直线与平面所成的角为 C.直线到平面的距离为 D.点到直线的距离为 14 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， , , , ，,，.,, , . 对于A，，， ，所以 ，，所以，，又，, 平面 ,所以 平面，A正确；对于B，易知为平面 的一个法向量， ，所以，所以直线与平面 所成的角的正弦值 为,所以直线与平面所成的角为，B正确；对于C，由题可得平面 ，故 15 直线到平面的距离为 ， 故C错误；对于D，,,，，所以 ， 所以点到直线的距离为 ，D正确. 故选 . 6.（多选）[辽宁鞍山2024高二期中] 如图，正方体 的棱长 为1，线段上有两个动点，，且 ，则下列结论正确的有 ( ) ACD A.当点运动时， 总成立 B.当向运动时，二面角 逐渐变小 C.二面角的最小值为 D.三棱锥 的体积为定值 17 解析 对于A，连接，， . 因为四边形为正方形，所以 ， 因为 平面， 平面，所以 ， 又，, 平面，所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以 ， 同理可证 . 又因为，, 平面，所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以 总成立，故A正确. 对于B，连接,平面即平面，平面即平面 ， 所以当向运动时，二面角 的大小不变，故B错误. 18 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 所以 ， 因为，在上，且 ， 故可设，,,，，则 ， 由题易知平面的一个法向量为 ， 设平面的法向量为 ， 则 取，则，，故 ， 19 设二面角的平面角为 ，则 为锐角， 所以,，又，所以当 时， 取得最大值， 取得最小值 ，故C正确. 对于D，因为，点到平面的距离即为点 到平面 的距离，为，所以，为定值，故D正确.故选 . 7.在空间直角坐标系中，已知平面 过点和及轴上一点，如果平面 与平面的夹角为 ，则 ___. 21 解析 易知平面的一个法向量为.设平面 的法向量为 ，则 即，取，可得平面 的一个法向量 ， ， . 又， . 22 8.如图，在直三棱柱中， ， ，，，分别是棱，，的中点， 是棱 上的点．若，则线段 的长度为____． 23 解析 在直三棱柱中， ，故以点 为坐标原 点，,,所在的直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系. 因为，，，分别是棱，， 的中点， 所以，，，则.又是棱 上的 点，所以设，则 .因为 ，所以，所以，所以，所以 . 24 9.[北京顺义区2024高二期中] 已知正方体的棱长为2， 为 棱 上一点． （1）求证： . 25 【证明】由题意可知，可以以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系. 因为正方体的棱长为2，所以， ， ，又为棱上一点，设，则 ， 所以， ， 所以，所以 ，即 . 26 （2）若为中点，求点到平面 的距离. 【解】连接,由（1）及（1）中的空间直角坐标系可知，， ， 因为为中点，所以，所以，， ， 设平面的法向量为，则即 令，则.所以 ， 所以点到平面的距离 . 27 （3）是否存在点使得 平面?若存在，指出点 的位置;若不存在，说明理由． 【解】不存在点使得 平面 ，理由如下： 由（1）（2）及（1）中的空间直角坐标系可知，，, , 所以，， ， 设平面的法向量为，则 令，则.所以 ， 若 平面，则 ， 所以，解得，故不存在点使得 平面 . 28 10.[湖南长沙雅礼中学2024高二期中] 如图，在梯形中，， ， ，将沿翻折，使点翻折到点，且 ． （1）证明： 平面 ； 【证明】在等腰梯形中，，， ， 则 ， 则 ， ， 又由，可知 ， 又， 平面， 平面，故 平面 . 29 （2）若为线段的中点，求平面与平面 夹角的余弦值． 【解】过点作 平面，则以为坐标原点，分别以, , 所在直线为,, 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，， ，则 ， . 设平面的法向量为，则即 令，则， ， 则 ， 易知平面的一个法向量为，所以, ， 故平面与平面夹角的余弦值为 . 30 11.[四川成都树德中学2024高二期中] 如图，菱形 的边长为 4,,为的中点.将沿折起，使点到达点 的位置，连接,，得到四棱锥 . （1）证明： ； 【证明】 在菱形中，为的中点， ， 是等边三角形， ， 在翻折过程中，恒有,，又,, 平面， 平面 ，又 平面， . 31 （2）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面 所成角的正弦值的 最大值. 【解】由题意及（1）得，为二面角的平面角，记其为 ， 则 ， 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为 轴的正方向建立空 间直角坐标系，如图所示， 则,,, ， , . 设平面的法向量为，则，即 32 令 ，得,又 ， 则, ， 令 , ， 得 , , ， 当且仅当, 时，等号成立. 设直线与平面所成角为 ，则,,故直线与平面 所 成角的正弦值的最大值为 . 12.[安徽太和中学2023高二数学竞赛] 一副标准规格的三角板按图①方式摆放构成平面四边形 ，，为的中点.将沿折起至的位置，连接， ，使 得 ，如图②. 图① 图② （1）证明:平面 平面 ； 34 【证明】取的中点，连接, ，如图. 在中， ， ，则 ， 又为斜边上的中线，所以 ， 因为为的中点，所以，，于是 ， 由，得，即有，因此 ， 又，，, 平面，所以 平面 ，又 平面，所以平面 平面 . 35 （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 【解】由（1）知，，， ， 故以为坐标原点，分别以,,所在直线为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ， 则，， . 设平面的法向量为 ， 则 令，得 . 设直线与平面所成角为 ， 则, ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 36 $$