第1.2节综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (湘教版2019)

数学 选择性必修第一册 XJ 1 1.2 1.2 等差数列 2 1.2 第1.2节综合训练 刷能力 3 1.[重庆西南大学附属中学2023高二阶段检测] 已知等差数列满足 , ，则 ( ) B A.36 B.42 C.48 D.54 4 解析 设的公差为.由,，得, ， ,，则等差数列的公差, ，故 ，故选B. 5 2.若数列，，，与，，，，均为等差数列（其中），则 ( ) B A. B. C. D. 6 解析 设数列，，，的公差为，数列,，，，的公差为 ， 则有，即，且，即， ，故选B. 7 3.若数列是公差为1的等差数列，则数列 是( ) C A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列 8 解析 因为数列 是公差为1的等差数列，所以 .所以 是公差为6的等差数列.故选C. 9 4.[安徽合肥2023高二期中] 在项数为的等差数列 中，其前3项的和为12，最后3项的和为2 88，所有项的和为950，则 ( ) C A.16 B.17 C.19 D.21 10 解析 由题意知, ，由等差数列的性质可得 ，所以，所以 . 因为，所以 .故选C. 11 5.[河南周口2023高二期末] 设等差数列的前项和为，若，，则 ( ) D A. B. C. D. 12 解析 由等差数列的性质可知，，，， 成等差数列， 且该数列的公差为，则 ，所以 ， 因此 .故选D. 13 6.设等差数列的前项和为，.若，，则数列 的最小项是( ) B A.第6项 B.第7项 C.第12项 D.第13项 14 解析 由，及， ,得 ，，所以，，且公差，所以数列中 最小.故选B. 15 7.[湖北武汉2024高二期末] 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》商功一卷 中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角 垛），“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， ，设 第层有个球，从上往下层球的总数为 ，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 16 解析 由题意得当时，，，， ，，以上 个 式子累加可得，又满足上式，所以 ，所以 ，故A错误； 由题得，，，，，， ，得 ，故B错误； ，故C错误； 由 ，得 ，故D正确. 故选D. 17 8.已知数列中，，当时，，设，则数列 的通 项公式为( ) A A. B. C. D. 18 解析 在数列中，，当时，， . ， 当时，，且， ， 也符合此式， .故选A. 19 9.（多选）[甘肃白银2024高二期中] 在数列中，若, ，则下列结论正确的 有( ) ABC A.为等差数列 B.的前项和 C.的通项公式为 D.的最小值为 20 解析 因为，易知，所以 ， 所以是首项为 ，公差为3的等差数列，故A正确； 由A知，，所以的前项和 ，故B正确； 由B可知，所以 ，故C正确； 因为,，所以的最小值不为，故D错误.故选 . 21 10.（多选）[重庆外国语、育才中学2023高二期中联考] 已知数列的前项和为 ，若 ， ，则下列说法正确的是( ) AB A.是递增数列 B.数列 是递增数列 C.数列中的最小项为 D.，， 成等差数列 22 解析 因为，所以，数列为等差数列，公差为3，又因为 ， 所以， . 对于A，因为，所以 是递增数列，A正确； 对于B，因为，所以数列 是递增数列，B正确； 对于C，因为,,，所以数列中的最小项为 ，C不正确； 对于D，当时，,,，显然不是等差数列，D不正确.故选 . 23 11.[甘肃兰州一中2024高二期中] 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的 和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和.已知数列 是等 和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2 023项和 ________. 1 010 24 解析 由等和数列的概念可得,,, ， ， 所以 . 25 12.若数列是正项数列，且，则 __________. 26 解析 令，得， . 当时， ,与已知式相减得 ， . 又 当时，满足上式，， . . 27 13.[河南商丘2023高二期末] 已知等差数列的前项和为，若数列,,, 的 前项和为，则 _____. 135 28 解析 设等差数列的公差为.由题意知数列,,, 成等差数列，且公差 . 记数列,,, 为，其前项和为，则 ， 又因为数列,,, 的前项和为，所以解得 所以 ，，解得，所以 . 29 14.在；； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上， 并作答. 设等差数列的前项和为， ，________. 30 （1）求数列 的通项公式； 【解】选①，设等差数列的公差为 . 由题意得解得 所以数列的通项公式为 . 选②，设等差数列的公差为 . 由题意得 解得所以数列的通项公式为 . 选③，设等差数列的公差为 . 由题意得 解得所以数列的通项公式为 . 31 （2）求 的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. [答案] 由，得 ，所以当 时， 取得最大值49. 32 15.[广东佛山2023高二期中] 已知数列满足， （1）记，写出,，并求数列 的通项公式； 【解】因为数列满足，所以 ， ， ，即，所以数列 是首项为2，公差为3的等差数列，因此 . 33 （2）求的前项和 . [答案] 当为偶数时，设，则， ， 所以 ，此时 ； 当为奇数时，设，则 ，则 . 综上所述， 34 16.[全国甲理2021·18,12分] 已知数列的各项均为正数，记为的前 项和,从下面①② ③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列是等差数列；②数列{}是等差数列； . 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 35 【证明】若选条件①②，则证明③： 设等差数列的公差为， 数列{}是等差数列， ， ，两边平方整理得 ， ，，， ． 若选条件①③，则证明②： 设等差数列的公差为，则， . ， ， （常数）， 当时， ， 数列{}是以为首项， 为公差的等差数列. 36 若选条件②③，则证明①： 数列{}是等差数列， ， ， ， ． 当时，，对于 也成立， （常数）， 数列 是等差数列． 17.[北京大学2022强基计划] 若的三边长为等差数列，则 的取值范 围是______. 38 解析 不妨设三角形的内角,,所对应的边长分别为,,,其中 . 此时 . 39 $$