5.5 数学归纳法-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第三册 RJB 1 *5.5 *5.5 数学归纳法 刷基础 2 1.已知命题 及其证明： （1）当 时，左边 ，右边 ，所以等式成立. （2）假设 时等式成立，即 成立，则当 时， ，所以 时等式也成立. 由（1）（2）知，对任意的正整数 命题都成立. 判断以上评述( ) B A.命题、证明都正确 B.命题正确、证明不正确 C.命题不正确、证明正确 D.命题、证明都不正确 证明不正确，错在证明当 时，没有用到假设 时的结论.由等比数列求和公式知命题正确，故选B. 题型1 用数学归纳法证明等式 3 2.用数学归纳法证明 时，第一步应验证不等式( ) B A. B. C. D. 解析 由题意得，当 时，不等式为 ，故选B. 题型2 用数学归纳法证明不等式 4 3.已知首项为 的等差数列 的前 项和为 ，数列 满足 ， . （1）求 与 ； 【解】设等差数列 的公差为 .因为 ，所以由 ，即 ，所以 ， 所以 . 又 ，所以 . 题型2 用数学归纳法证明不等式 5 （2）设 ，记数列 的前 项和为 ，证明：当 时， . 【证明】由（1）可知， ， ，所以 . 当 时， ，不等式成立;当 时， ，不等式成立; 假设当 时，不等式 成立，即 ， 题型2 用数学归纳法证明不等式 6 当 时， ， 因为 , ,所以 ，即 ， 因此 ，即当 时，不等式也成立. 综上所述,当 时， 成立. 题型2 用数学归纳法证明不等式 7 4.用数学归纳法证明： 能被133整除. 【证明】①当 时， 能被133整除，所以当 时结 论成立. ②假设当 时， 能被133整除，那么当 时， . 由假设可知 能被133整除，即 能被133 整除,所以当 时结论也成立.综上， 能被133整除. 题型3 整除问题 8 5.[四川广安二中2023高二期中] 用数学归纳法证明 时，从 到 ，不等式左边需添加的项是( ) B A. B. C. D. 题型4 归纳—猜想—证明 9 解析 不等式左边需添加的项是 .故选B. 题型4 归纳—猜想—证明 10 6.[浙江杭州二中2023高二期末] 已知数列 满足 ， . （1）求 ， ， ； 【解】由 可知 ， 当 时，代入 ，解得 ； 当 时，代入 ，解得 ； 当 时，代入 ，解得 . 题型4 归纳—猜想—证明 11 （2）试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明. [答案] 猜想数列 的通项公式为 .当 时，左边 ，右边 ， 成立. 假设当 时， 成立. 则当 时，有 ， 即当 时， 也成立. 所以 对任何 都成立. 题型4 归纳—猜想—证明 12 $$