6.3.2 二项式系数的性质-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步课件 (人教A版2019)

数学 选择性必修 第三册 RJA 1 6.3 6.3 二项式定理 2 6.3 6.3.2 二项式系数的性质 刷基础 3 1.（多选）下列关于 的说法，正确的是( ) AC A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最大 题型1 二项式系数的对称性与增减性 4 解析 的展开式中的二项式系数之和为 ，所以A正确； 因为 为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C正确； 展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确. 故选 . 题型1 二项式系数的对称性与增减性 5 【规律方法】求解二项式系数或展开式系数的最值问题的步骤 第一步，首先要弄清是求展开式中“二项式系数的最大值”“项的系数的最大值”以及“最大项” 三者中的哪一个. 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据 中 的奇偶及二项式系数的性质求解.若是 求展开式中项的系数的最大值，设展开式各项的系数分别为 ， ， ， ， 且第 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解 不等式组 即得结果.求二项式系数的最大值或系数的最大值只需要写系数，求最大项 需要把完整的那一项写出来. 题型1 二项式系数的对称性与增减性 6 2.[江苏盐城2023高二期中] 在 的展开式中，二项式系数的最大值为 ，含 项的系数 为 ，则 ( ) B A. B. C. D. 题型1 二项式系数的对称性与增减性 7 解析 在 的展开式中，二项式系数的最大值为 ， ．展开式中的通项 ，令 ，可得 ， 含 项的系数为 ，则 ．故选B． 题型1 二项式系数的对称性与增减性 8 3.[重庆南开中学2023质量检测] 若 的展开式中，所有项的系数和与二项式系 数和相等，且第6项的二项式系数最大，则共有不同的有序实数对 的组数为( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 二项式系数的对称性与增减性 9 解析 根据二项式系数的性质及第6项的二项式系数最大知， 的可能取值为9，10，11.又由题意可得， ，当 ，11时， ；当 时， 或 ，故有序实数对 共有4组不同的解，分别为 ， ， ， .故选D． 题型1 二项式系数的对称性与增减性 10 4.[山东聊城一中2023高二月考] 在二项式 的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系 数相等． （1）求展开式中各项系数之和； 【解】依题意 ，由组合数的性质得 ， 令 ，得展开式中各项系数之和为 . 题型1 二项式系数的对称性与增减性 11 （2）求展开式中二项式系数最大的项； 【解】二项式 的展开式的通项为 ， ， 1， ，8， 因为 ，所以二项式 的展开式中二项式系数最大的项为 . 题型1 二项式系数的对称性与增减性 12 （3）求展开式中的有理项． 【解】由（2）可得二项式 的展开式的通项为 ， ，1， ， 8， 令 ，得 ，5，8， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， . 综上所述，二项式 的展开式中的有理项为 ， ，1. 题型1 二项式系数的对称性与增减性 13 5.[吉林长春2023高二期中] 已知二项式 的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的 常数项为( ) D A.100 B.150 C.180 D.240 题型2 二项式系数和 14 解析 二项式 的展开式的二项式系数和为 ，可得 ，所以二项式 的展开式的通项为 ，令 ，可得 ，则展开式中常数项为 .故选D． 题型2 二项式系数和 15 6.（多选）[山东菏泽2023高二期末] 在 的展开式中，下列结论正确的有( ) ACD A.二项式系数的和为 B.各项系数的和为 C.奇数项系数的和为 D.二项式系数最大的项为 题型2 二项式系数和 16 解析 在 的展开式中，二项式系数的和为 ，故A正确； 令 ，可得各项系数的和为 ，故B错误； 设 ， 令 ，得到 ①， 令 ， （或 ， ）， 得 ②， ① ②得 ， 奇数项系数的和为 ，故C正确； 二项式 的展开式的通项为 且 ，展开式 中一共11项，故展开式中二项式系数最大的项为第6项，即 ，故 D正确. 故选 ． 题型2 二项式系数和 17 7.已知