1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教A版2019)

数学 择性必修 第一册 RJA 1 1.4 1.4 空间向量的应用 2 1.4 课时1 用空间向量研究距离问题 刷基础 3 1.[山东临沂2024高二学科素养水平监测] 已知过坐标原点的直线的方向向量 ，则点 到直线 的距离是( ) D A.2 B. C. D. 题型1 用空间向量研究点线距 4 解析 由题意可知，在直线上的投影向量的模长为，所以点到直线 的距离.故点到直线的距离是 .故选D. 题型1 用空间向量研究点线距 5 2.[山西太原2024高二期中学业诊断] 如图，正方体 的棱长为 2，是的中点，则点到直线 的距离为( ) D A. B. C. D. 题型1 用空间向量研究点线距 6 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，连接,则, , , 所以, ， 所以点到直线的距离为 .故选D. 题型1 用空间向量研究点线距 7 3.[河南信阳2024高二月考] 如图，在平行六面体 中， , ，为 的中点，则点 到直线 的距离为( ) D A. B. C. D. 题型1 用空间向量研究点线距 8 解析 设,,，因为, ， 所以，又， ， 所以 ， ， 所以,，因此=, 所以点到直线的距离为 ，故选D. 题型1 用空间向量研究点线距 9 4.[浙江台州2024高二期中] 在空间直角坐标系中，已知点,, ，则点 到平面 的距离是( ) B A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究点面距 10 解析 依题意可得,，，设平面 的法向量为 ， 则令，则可得,，即，所以点到平面 的距离 .故选B. 题型2 用空间向量研究点面距 11 5.[广东惠州实验中学2024高二月考] 在四棱锥中，， ， ，则该四棱锥的高为( ) D A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究点面距 12 解析 设平面的法向量为，则即令 ，可得 ，，则 . 点到平面的距离为 ,即为该四棱锥的高.故选D. 题型2 用空间向量研究点面距 13 6.[广东江门2024高二月考] 已知平面 的一个法向量，点在平面 内， 若点到 的距离为，则 ( ) C A.16 B. C.4或 D. 或16 题型2 用空间向量研究点面距 14 解析 由点在平面 内，点，可得 . 因为平面 的一个法向量，且点到 的距离为 ， 所以，即，解得或 .故选C. 题型2 用空间向量研究点面距 15 7.在底面为直角梯形的四棱锥中，侧棱 底面，， ， ，，则点到平面 的距离是____. 题型2 用空间向量研究点面距 16 解析 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角 坐标系，如图，则， ， ，，， ，. 设为平面的法向量，则 即 取，可得平面的一个法向量.又， 点 到平 面的距离为 . 题型2 用空间向量研究点面距 17 8.[安徽六安中学2023高二期中] 正三棱柱的所有棱长都为2,则到平面 的 距离是( ) B A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 18 解析 设,分别是,的中点，连接, . 根据正三棱柱的几何性质可知,, 两两垂直，所以建立如图所示的空间 直角坐标系，则,,, ， 则,, . 设平面的法向量为 ， 则 令,可得平面的一个法向量,, . 由于, 平面, 平面，所以平面 . 所以到平面的距离即为点到平面的距离，即为 .故选B. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 19 9.[四川泸州2024高二月考] 两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点 ，且两平面的一 个法向量 ，则两平面间的距离是( ) B A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 20 解析 两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点， ，且两平面的一个法 向量, 两平面间的距离为 .故选B. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 21 【规律方法】对于线面距和面面距，往往转化为点面距进行求解. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 22 10.在棱长为1的正方体中，平面与平面 之间的距离为( ) B A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 23 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ， ， 所以，， . 设平面的法向量为，则 解得故 . 显然平面平面，所以平面与平面之间的距离 .故选B. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 24 【名师点拨】利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②此点与平 面内一点构成该平面的斜线段，求斜线段对应的向量在法向量上的投影向量的大小，即为点到平 面的距离.空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 25 1.4 课时1 用空间向量研究距离问题 刷提升 26 1.[四川绵阳南山中学2024高二月考] 在三棱锥中，,,, 两两垂 直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线 的距离 为( ) C A.2 B.1 C. D. 27 解析 以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系，连接 , 则，，，，，所以 ， ， 取，，则， ， 所以点到直线的距离为 ．故选C. 28 2.[辽宁抚顺六校2024高二期中] 埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四 棱锥.若正四棱锥的高为3，，点满足，则点到平面 的距离 为( ) A A. B. C. D. 29 解析 如图，连接，设与相交于点，连接 ， 故以点为坐标原点，,,所在直线分别为，， 轴，建立空间直角坐 标系， 又由题意可得， ， 所以 ， 所以，，，，， ， 不妨设，又因为，所以 ， 即,,，解得,,，即 ， 所以，， . 设平面的法向量为，则， ， 即取，得 ， 所以点到平面的距离 ．故选A. 30 3.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点 在线段 上，则点到直线 的距离的最小值为( ) D A.1 B. C. D. 31 解析 以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴建立如图所 示的空间直角坐标系，连接 , 则，，, , 所以，， . 因为点在线段上，所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量的大小为 ， 而 ， 则点到直线的距离 ，当且仅当 时取等号，所以点到直线的距离的最小值为 ，故选D. 32 4.[山东泰安一中2024高二月考] 在空间直角坐标系中，点，， ，点 在平面内，则当的长度取最小值时，点 的坐标是( ) A A. B. C. D. 33 解析 设点，为平面的法向量，则， , , ， 则即 令,则,，故，则点到平面的距离为,所以 长度 的最小值即为,则，则 , 又，则可设,易知当的长度最小时，,则 ， 所以 , , ，代入,可得，则, , 所以 ， 则 ,故选A. 34 5.在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形 内有一动点（包括边界），则 的最小值是( ) C A.2 B. C.3 D. 35 解析 以为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向建立如图 所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ， ， . 设点关于平面的对称点为，则 ， . 设平面的法向量为，则令，解得 ， ， ， 与到平面的距离，又 ， 36 ，（舍去），，， ， （当且仅当,, 三点共线时取等号），即 的最小值为3.故选C. 【名师点拨】本题的解题关键是能够求得点关于平面的对称点 ，从而利用三角形两边之 和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 38 6.[四川成都树德中学2024高二期中] 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点 ，且以 向量为方向向量，则这条直线可以用方程 来表示.已知直 线的方程为，则点到直线 的距离为___. 2 39 解析 由题设，直线的方程为，经过点，且为直线 的方向向量， 所以，故点到直线的距离为 . 40 7.[山西大同2024高二期中] 在长方体中，,, 分别是棱 ,上的动点（不含端点），且，则三棱锥 体积的取值范围是______. 41 解析 以为坐标原点，分别以直线,,为,, 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示. 设 ， 则,又,，所以, , . 设平面的法向量为 ， 则即 令，则, , 所以平面的一个法向量为 ， 42 点到平面的距离 . 设中的边上的高为，因为 , , 所以 ,所以 ， 所以 ， 所以三棱锥的体积的取值范围是 . 【多种解法】（此法作辅助线比较难）设，延长到 ， 使得，连接, , 则，，则 ，于是 . 因为长方体的对角面是矩形，所以 ， 又 平面， 平面，于是平面 ， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，连接,, , 由等体积法可知 ，又 ，故 ，所以 . 44 8.[河南安阳一中2024高二月考] 在棱长为2的正方体 中，点 是的中点，点是 中点． （1）证明： 平面 ； 45 【证明】以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、 轴建立空 间直角坐标系，如图所示, 则，，，，， ， 则，， . 设平面的法向量为，则 取，则， ， 所以 ， 又因为，所以，所以 平面 . 46 （2）求点到平面 的距离． 【解】由（1）知平面的一个法向量为 ， 又因为，所以点到平面的距离为 ． 47 1.4 课时2 用空间向量研究夹角问题 刷基础 48 1.[重庆巴蜀中学2024高二期中] 在正方体中，，分别是， 的中点， 则异面直线与 所成角的余弦值为( ) A A. B. C. D. 题型1 用空间向量研究线线角 49 解析 以为坐标原点，以,,所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐 标系，如图， 设正方体的棱长为2，则,,, ， 则,，所以, ，则异 面直线与所成角的余弦值为 ．故选A. 题型1 用空间向量研究线线角 50 【规律方法】求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空 间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统 法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线所成的角，再利用平面几何性质求解. 题型1 用空间向量研究线线角 51 2.[辽宁沈阳重点高中联合体2023高二期中] 已知四棱锥的底面 是边长为2的正方 形， 平面，棱，的中点分别为，.若直线与所成角的余弦值为 ，则 ( ) C A.2 B. C.4 D.1 题型1 用空间向量研究线线角 52 解析 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .设 ，则，，，，,1, ，所以 ，.因为直线与所成角的余弦值为 ，所 以,，解得 （负值舍去），也 即 .故选C. 题型1 用空间向量研究线线角 53 3.如图，和均是边长为2的正三角形，是以 为斜边的等 腰直角三角形，则异面直线与 夹角的大小为( ) C A. B. C. D. 题型1 用空间向量研究线线角 54 解析 由于 ，所以 ， 即,,化简得 , ， 由于,,所以,，故异面直线与夹角的大小为 .故选C. 题型1 用空间向量研究线线角 55 【归纳总结】利用数量积求异面直线所成的角的思路 题型1 用空间向量研究线线角 56 4.[浙江温州2024高二期中联考] 如图所示，在几何体中，四边形 为直角梯形，，, 底面,, , , ． （1）求证：平面 ； 题型1 用空间向量研究线线角 57 【证明】因为， 底面，所以 底面 ， 因为, 底面，所以, . 因为,，所以 ， 所以以为坐标原点，，,所在直线分别为轴，轴, 轴建立空间直角坐 标系，如图， 则,,,,, ． 所以,, , 设平面的法向量为,则令 , 可得,所以,即,又 平面,所以平面 . 题型1 用空间向量研究线线角 58 （2）求直线与直线 所成角的余弦值． 【解】由（1）知, , 所以,，所以直线与直线所成角的余弦值为 . 题型1 用空间向量研究线线角 59 【多种解法】（1）因为,,,所以 ，又因为 平面,所以平面 ． 题型1 用空间向量研究线线角 60 5.[山东济宁2024高二期中] 如图，在正四棱锥中，为顶点 在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线 与平面 所成的角是( ) C A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究线面角 61 解析 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系 . 设 ， 则，，，，，0， ， 则，，，， . 设平面的法向量为 ， 则， ， 可取 . 设直线与平面所成的角为 ， 则, ， 又 ， .故选C. 题型2 用空间向量研究线面角 62 6.[河南豫南名校2023高二期中] 如图，在正三棱锥中， ， ，两两垂直，，分别是，的中点，则直线与平面 所 成角的余弦值为( ) D A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究线面角 63 解析 依题意，,, 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则,,,, , ，则，， . 设平面的法向量为 ， 则令,可得平面的一个法向量 . 设直线与平面所成的角为 ，则,又 ,故 .故选D. 题型2 用空间向量研究线面角 64 7.在三棱锥中，，，平面 平面，点 在棱 上，且与平面所成角的正弦值为，则 ( ) A A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究线面角 65 解析 取的中点，连接，.易知,, 两两垂直. 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为,, 轴，建立空间 直角坐标系 . 由已知得,,,, ,所以 , . 设，则 . 设平面的法向量为 . 由得 可取 . 题型2 用空间向量研究线面角 66 设与平面所成的角为 ， 则,，解得或 （舍去），所以 .故选A. 题型2 用空间向量研究线面角 8.[浙江杭师大附中2024高二期中] 如图，在三棱锥中， 平面 ， 点，分别是和的中点，, ，直线与直线 所成的角为 . （1）求 的长； 题型2 用空间向量研究线面角 68 【解】由 平面，且 ，可得,, 两两垂直， 如图，以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标 系. 设，则,,,, , ， 可得, ， 所以,，解得 ， 所以 . 题型2 用空间向量研究线面角 69 （2）求直线与平面 所成角的正弦值． [答案] 由（1）可得,, ， 设平面的法向量为，则 令，则, ， 可得 ， 则,，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 题型2 用空间向量研究线面角 70 【归纳总结】求空间角的常用方法 （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结 合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、 直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量）的余弦值，再进行转化求出结果. 题型2 用空间向量研究线面角 71 9.已知向量,分别是平面 和平面 的法向量，若,，则平面 与 的夹角为 ( ) B A. B. C. 或 D. 或 题型3 用空间向量研究面面角 72 解析 平面与平面的夹角的范围是 （含 与），由于,，所以 , ,所以平面 与 的夹角为 .故选B. 题型3 用空间向量研究面面角 73 10.在正方体中，平面与平面 夹角的余弦值为( ) C A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究面面角 74 解析 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴建 立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为1，则, , , , ,，，, , , . ,,, .又 ,, 平面, 平面,, , 平面 , 平面,和分别是平面和平面的法向量.又，， 平面与平面夹角的余弦值为 . 题型3 用空间向量研究面面角 75 11.[陕西安康2024高二期中] 如图，四边形是边长为1的正方形， 平 面，若，则平面与平面 的夹角为( ) A A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究面面角 76 解析 因为 平面，且四边形为正方形，所以,, 两两 垂直,建立如图所示的空间直角坐标系，则,, ，所以 ， . 设平面的法向量为，则取 ， 又平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为 ，则 ， 又 ，所以 .故选A. 题型3 用空间向量研究面面角 77 12.（多选）[重庆八中2024高二期中] 如图，已知，分别是正方体的棱 和 的中点，则下列说法正确的是( ) AD A.与 是异面直线 B.直线与所成角的大小为 C.直线与平面所成角的正弦值为 D.二面角的余弦值为 题型3 用空间向量研究面面角 78 解析 对于A，因为点 平面，点 平面， 平面，所以与 是异面直线，故A正确. 对于B，连接,由，分别是,的中点知，,又 ，所 以，即或其补角为与所成的角，在等边三角形 中， ，故B错误. 设正方体的棱长为2，则，，,， ， 由题意可知，平面的法向量可取， ， 设与平面所成的角为 ，则 ， 对于C，以为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴，建立空间直角坐标系，如 图所示, 题型3 用空间向量研究面面角 79 所以与平面所成角的正弦值为 ，故C错误. 对于D，由C中坐标系可得,,,,所以 ， ， , 设平面的法向量为，则 令，得 ， 设平面的法向量为，则令 ，可得 ， 则,，又因为二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为，故D正确.故选 ． 题型3 用空间向量研究面面角 13.在二面角的棱上有,两点，直线,分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于 .若 ,,, ，则此二面角的大小为( ) C A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究面面角 81 解析 如图，由题知,, . , ， ,，即,，,, 所求二面角 的大小为 .故选C. 题型3 用空间向量研究面面角 82 14.[辽宁鞍山一中2024高二期中] 已知四棱锥的底面 为 菱形，且 , ． （1）证明： ； 题型3 用空间向量研究面面角 83 【证明】取中点，连接,， ,如图， 因为底面为菱形，且 ，所以 为等边三角形， 故，因为,，所以 .又因为 ,, 平面，所以 平面，又 平 面，所以.又因为是的中点，所以 . 题型3 用空间向量研究面面角 84 （2）若，求二面角 的余弦值. 【解】因为,所以，所以以为坐标原点，, 所 在直线分别为轴、轴，过作垂直于平面的直线为 轴，建 立如图所示的空间直角坐标系 ， 过作于点，又 平面，则 ， ,, 平面 ， 所以 平面，由得,, ，所以 , ， 因为为正四面体，所以为等边三角形的中心，所以, ，所以 . 题型3 用空间向量研究面面角 85 设平面的法向量为 ，则 即 令，则,，则 . 设平面的法向量为，则 即令 , 可得平面的一个法向量为，则, . 又二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为 . 题型3 用空间向量研究面面角 15.已知直线与平面 相交，且的方向向量为， 的法向量为.若，，则与 所成 角的大小为( ) C A. B. C. D. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 87 解析 如图所示，直线与平面 所成的角 . 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 88 【易错警示】求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角才是斜线 与平面所成的角. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 89 16.在三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，.若， ，则二面 角 的大小为( ) C A. B. C.或 D.或 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 90 解析 当二面角为锐角时，其大小为，；当二面角 为钝角时， 其大小为， . 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 91 【易错警示】利用空间向量法求二面角，有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一 个与棱垂直且从棱上同一点出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小；二 是通过平面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为， ，则二面角的大小等于 ，或， . 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 92 17.[湖北武汉华师大一附中2024高二月考] 如图，在正方体 中，，分别为，的中点，则平面与平面 的夹角的余弦值 为( ) B A. B. C. D. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 93 解析 设正方体的棱长为1，以为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示,则,0,,,, ， , . 设平面的法向量为，由于， ， 则 ， 即 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 94 令，解得，，于是 ，同理可求得平面的一个法向量为 ，所以, ,设平面与平面的夹角为 ， 则,.故所求两平面夹角的余弦值为 .故选B. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 【易错警示】面面夹角是平面 与平面 相交形成的四个二面角中不大于 的二面角，故面面夹 角 ，因此面面夹角的余弦值一定不小于0，故两平面法向量夹角的余弦值的绝对值就是 两平面夹角的余弦值，不用分情况讨论面面夹角是锐角还是钝角，注意和二面角进行区分. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 96 1.4 课时2 用空间向量研究夹角问题 刷提升 97 1.在正方体中，，分别为，的中点，则与平面 所成的角的 正弦值为( ) B A. B. C. D. 98 解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则 ， ，，，， , ，， . 设平面的法向量为 ， 则即令，则可得平面 的一个法 向量 ， ，.故与平面所成的角的正弦值为 . 99 2.［教材变式］（多选）[安徽亳州2024高二月考] 如图，在直三棱柱 中，， ，，， 分别为 ，， 的中点．则下列结论正确的是( ) BD A.直线与平面所成的角为 B.平面与平面的夹角为 C.直线与所成角的大小为 D.直线到平面的距离为 100 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则,, , ，,设平面的法向量为 ，则 令,可得 . 对于A选项，，，则，设直线 与平面 所成的角为 ,则,又 , ,A选项错误. 对于B选项，取平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为 ,则 ,又 , ，B选项正确. 101 对于C选项，,,则，， ，C选项错误. 对于D选项，，平面, 点到平面 的距离即为直线到 平面的距离,为，D选项正确.故选 . 【链接教材】本题是教材P37例8的变式与延伸，综合了空间中的角、距离等问题，较为全面地 考查了利用空间向量解决立体几何中的度量问题，不管几何体的结构如何变化，利用空间向量求 空间角、距离的方法不变，求角的大小的题目要注意线线角、线面角、面面角与向量夹角的联系 与区别，求角的三角函数值要注意根据角的范围恰当地选择三角函数值的正负. 103 3.[四川南充2024高二段考] 两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平 面的夹角.由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中，两个 不重合的“表截面”的夹角大小不可能为( ) A A. B. C. D. 104 解析 在正方体中，平面和平面 的夹角为 ，D选项错误. 平面和平面的夹角为 ，B选项错误. 设正方体 的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,，, , ， ， 设平面的法向量为，则令 ,可得 . 105 设平面的法向量为，则令 ,可得 ， 设平面与平面的夹角为 ，则 ， 由于 ，所以 ，所以C选项错误.平面与平面的夹角为 .由 图可知两个不重合的“表截面”的夹角的大小不可能为 .故选A. 4.[河北保定2024高二月考] 已知矩形中，，，将沿折起到 的位置.若，则二面角 的平面角的余弦值为( ) C A. B. C. D. 107 解析 过点作,过点作，垂足分别为,，过点 作 交于点，则，所以即为二面角 的平 面角. 由题可得，则，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ,，所以, ， 因为，所以.所以二面角的平面角的余弦值为 .故选C. 108 5.[山东聊城2024高二期中] 如图，在正方体中，是中点，点在线段 上.若直线与平面所成的角为 ，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 109 解析 如图，设正方体的棱长为1，，则 . 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，， 轴建立空间直角坐 标系. 则,,,,，故， ，又 ，则，所以 ,, . 在正方体中，连接,可知体对角线 平面，所以 是 平面 的一个法向量. 所以, , 110 所以当时， 取得最大值，当或1时， 取得最小值 ，所以 .故选A. 【归纳总结】求空间中直线与平面所成的角的常见方法 （1）定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成的角的概念； ③求，利用解三角形的知识求角. （2）向量法：,（其中为直线的方向向量，为平面 的法向 量， 为直线与平面 所成的角）. （3）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到平面的距离，点到平面的距离与斜线段长 的比值即为线面所成的角的正弦值. 112 6.（多选）[辽宁抚顺六校2024高二期中联考] 如图，正方体 的棱长为2，是的中点，点满足，其中 ， ，则下列结论正确的有( ) ABD A.当时， B.当时，平面 C.当时，异面直线与所成角的余弦值为 D.若，二面角的平面角为，则的面积为 113 解析 以点为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 则，，，，，， ， 所以，, , ，则 ， 所以，，， ， 所以，当时，，即 ，故A正确； 易知是平面的一个法向量，因为当时，，即 ， 且 平面，所以平面 ，故B正确； 114 当时，,,，则,，则异面直线与 所成角的 余弦值为 ，故C错误； 当时，，，设平面的法向量为 ，则 取，则 ， ，所以，又因为平面 的一个法向量为 ，且二面角的平面角为 ， 则,，又，解得，即点，,1, ， 则,，所以, , ，所以, ，故D 正确．故选 . 7.如图，在四棱锥中， 平面, , ,，已知是四边形 内部一动点 （包括边界），且二面角的大小为 ，则 面积的最大值是 ( ) A A. B. C. D. 116 解析 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角 的大小为 ，且点是四边形内部一点（包括边界），得点 的轨迹 是过点的一条线段（不包括点），设点的轨迹与 轴的交点坐标为 ,连接 . 由题意可知,，,所以, , .易知平面的一个法向量为.设平面 的法向量 为 ，则 即令，得，，所以是平面 的一个法向量. 117 则二面角的平面角的余弦值为,, 解得 或 （舍去）， 又点在上运动，所以面积的最大值是 .故选A. 8.[湖南衡阳2024高二期中] 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平 面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖之分．如图属重檐四角攒尖，它 的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍， 则侧面与底面的夹角为__． 119 解析 设正四棱锥底面的边长为，斜高为，连接,交于点 ，连接 .则，则，．以为坐标原点， , ,的方向分别为,, 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则,,，, . 设平面的法向量为，则 即 令，则,,，显然平面 的一个法向量 为,,， 侧面与底面的夹角的余弦值为 ,又夹角的范 围为, 所求夹角的大小为 ． 120 9.[广东深圳2024高二期中] 如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截 后得到的几何体，截面为．已知， ， ，， ． （1）设点是的中点，证明：平面 ； 121 【证明】由题可得 平面，又, 平面 ，所以 ，，又因为 ，所以可以以 为坐标原 点建立空间直角坐标系，如图， 则,,,, ， 因为是 的中点， 所以, ， 易知是平面的一个法向量，，又 平面，所以 平 面 . 122 （2）求直线与平面 所成的角的余弦值； 【解】设直线与平面所成的角为 ，, ，设 是平面的法向量，则由得取 ，得 . 又因为，所以， ， 则，，所以直线与平面所成的角的余弦值为 . 123 （3）求此几何体的体积． 【解】分别延长,,至点,,，使,, ，则 .因此几何体的体积为 ． 124 10.[四川成都树德中学2024高二期中] 如图，在四棱锥中， 是边 长为3的正三角形，,,，平面 平面 ． （1）求证： 平面 ； 【证明】连接交于点，由平面几何知识易知 ， 又平面 平面,平面 平面， 平面， 平面 ， 又 平面，，又,,, 平面 ， 平面 . 125 （2）若，求二面角 的平面角的正切值. 【解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 若，则,,,,,, , ., . 设是平面的法向量,则即 令，则, ， 即 . 易知是平面的一个法向量，, . 二面角 的平面角为锐角， 二面角的平面角的余弦值为， 二面角的平面角的正弦值为, 二面角的平面角的正切值为 . 126 【归纳总结】二面角的求法 （1）几何法：找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 求（解三角形）. （2）向量法：首先求出两个半平面的法向量,，再代入公式（其中, 分别是 两个半平面的法向量， 是二面角的平面角）求解（注意通过观察二面角的大小选择“ ”）. 127 11.[江西九江一中2024高二期中] 已知 是等边三 角形，点,满足，，将 沿 折起到的位置，使 ． 128 （1）求证： 平面 . 【证明】设 的边长为6， 因为点，分别是边，的三等分点，且， ， 所以,,,, ，所以 ， 所以，所以，即且 ， 因为 ，所以 ， 又因为，且 平面， 平面 , 所以 平面 . 129 （2）在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求 的 值；若不存在，说明理由． 【解】存在点满足条件.由（1）可知,, 两两垂直，所以以 为坐标原点，,,所在的直线分别为,, 轴，建立空间直 角坐标系，如图所示， 则,,， , 所以, . 由题可得平面的一个法向量为 . 假设在线段上存在点满足条件，则设， ， 则 ， 所以 , ,，即 , 130 所以 . 设平面的法向量为，则 则 令，则,，所以 . 因为平面与平面夹角的余弦值为 , 所以, ， 化简得，解得或，当时， ；当时， . 所以在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时或 . $$