1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教A版2019)

数学 择性必修 第一册 RJA 1 1.4 1.4 空间向量的应用 2 1.4 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示 刷基础 3 1.在平行六面体中，向量，， 一定是( ) C A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 4 解析 如图所示， 因为，而，所以 ，即 ，所以，， 三向量共面.故选C. 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 5 2.设空间四点,,,满足，其中 ，则( ) A A.点一定在直线上 B.点一定不在直线 上 C.点不一定在直线 上 D.以上都不对 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 6 解析 由得,结合题意知 ,即 ,即,据此可知，，， 三点共线, 点一定在直线 上.故选A. 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 7 3.[河南信阳2024高二期中] 已知向量，， 不共面， ， 则( ) A A.，，，，，四点共面 B.，，，，， 四点不共面 C.，，，，，四点共面 D.，，，，， 四点共面 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 8 解析 ，，，，，， 四点共面.故选A. 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 9 【规律方法】任意三点不共线的四个点,,,共面 不在平面内的任意一点 ,都有 且,, . 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 10 4.[山西临汾2024高二期中] 已知,是空间两个不共线的向量， ，那么必 有( ) C A.,共线 B.,共线 C.,,共面 D.,, 不共面 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 11 解析 若,共线，则 ， 又，则, 共线，与条件矛盾，故 A错误； 同理若,共线，则 ，又 ，则, 共线，与条件矛盾，故B 错误； 根据向量共面的充要条件可知,, 共面，即C正确，D错误.故选C. 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 12 【规律方法】三个点,,共线 不在直线上的任意一点都有 且 , . 注意区分三点共线和四点共面. 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 13 5.已知，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且点是不在平面 内的任意一 点，，则 ____. 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 14 解析 ,,,四点共面且不在该平面内,,且 .由条件 知,, . 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 15 6.如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为 上的点，且 ,点在上，且.若，，，四点共面，求 的值. 【解】连接（图略）,, . ,. , ,.又 , . ,,又 ， ,,, 四点共面, ,解得 . 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 16 7.[广东惠州六校2024高二联考] 若，在直线上，则直线 的一个方向向量为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 直线的方向向量的理解 17 解析 依题意，直线的一个方向向量为 ，其他三个均不符合要 求.故选C． 题型2 直线的方向向量的理解 18 8.[山东日照实验高级中学2024高二阶段考试] 两条直线,的方向向量分别为 , ，则这两条直线( ) D A.平行 B.垂直 C.异面 D.相交或异面 题型2 直线的方向向量的理解 19 解析 因为,，所以，故直线, 不 垂直. 又，故直线, 不平行，所以两条直线相交或异面.故选D. 题型2 直线的方向向量的理解 20 9.[河北沧州2024高二月考] 已知向量,都是直线的方向向量，则 的值是( ) A A. B.1或 C. D.1 题型2 直线的方向向量的理解 21 解析 由题意可得，所以，则 ，所以 解得 故选A. 题型2 直线的方向向量的理解 22 10.（多选）[湖北十堰六校2023高二期中] 如图，在正方体 中，为棱上不与，重合的任意一点，则能作为直线 的方向向量的是 ( ) ABD A. B. C. D. 题型2 直线的方向向量的理解 23 解析 由图易知，可作为直线的方向向量，又，所以，， 都能 作为直线的方向向量.故选 . 题型2 直线的方向向量的理解 24 11.[河南郑州2024高二月考] 已知点，， ，则下列向量 是平面 的法向量的是( ) A A. B. C. D. 题型3 平面的法向量的理解 25 解析 由题意知， .对于A， ，， 向量 与,均垂直，又,， 平面, 向量是平面 的 一个法向量，A正确； 对于B，， 向量与不垂直， 向 量不是平面 的法向量，B错误； 对于C，， 向量与不垂直， 向量 不是 平面 的法向量，C错误； 对于D，， 向量与不垂直， 向量 不是平面 的法向量，D错误.故选A. 题型3 平面的法向量的理解 26 12.（多选）如图，在空间直角坐标系中， 为单位正方体，则下列结论中正确 的有( ) ABC A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 题型3 平面的法向量的理解 27 解析 ，,A正确；连接, ， ,B正确； 直线 平面，且， 平面 的一 个法向量为，C正确；点的坐标为，, ,则 ,与不垂直，与平面不垂直，D错误.故选 . 题型3 平面的法向量的理解 28 13.[广东茂名2024高二期中] 17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标 的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学 发展的新局面，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程 在一维空间中表示一个点；在 二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面.那么，过点 且 为法向量的平面的方程为( ) D A. B. C. D. 题型3 平面的法向量的理解 29 解析 设是该平面内的任意一点，则,所以过点 且法向 量为的平面的方程为 ，整理得 .故选D. 题型3 平面的法向量的理解 30 【规律方法】已知平面中一点和法向量，可以根据平面的法向量和平面内的任意直线垂直，求出 平面内点的方程（即平面方程）. 题型3 平面的法向量的理解 31 14.（多选）[江西抚州三校2023高二联考] 在空间直角坐标系中，已知向量 （其中），定点，异于点的动点 ，则以下说法正确的是( ) AD A.若为直线的方向向量，则 B.若为直线的方向向量，则 C.若为平面 的法向量，平面 经过和，则 D.若为平面 的法向量，平面 经过和，则 题型3 平面的法向量的理解 32 解析 是直线的一个方向向量，，若为直线 的方向向量， 则 ，A正确，B错误； 在平面 内，若为平面 的法向量，则 ，所以 ，C错误，D正确.故选 . 题型3 平面的法向量的理解 33 15.已知正四棱锥如图所示，在 ， ，，中，不能作为底面 的法 向量的是____. ① 解析 由题意可知,， ， ，，易知 平面,所以不能作为底面 的 法向量的是①. 题型3 平面的法向量的理解 34 16.在如图所示的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，, 与平面所成的角为，为中点，求平面 的一个法向量.（用坐标表示） 题型3 平面的法向量的理解 35 【解】如图，连接.因为 平面，所以是 与平面 所成的角，即 . 在正方形中，，而 ，则有 ， 于是得,,，，则 , . 设平面的法向量为，则 令，得平面的一个法向量为 . 题型3 平面的法向量的理解 36 【归纳总结】求平面的法向量是解决立体几何问题的关键，一定要掌握. 平面 的法向量的求法： （1）假设平面的法向量为 ; （2）在平面内任意找出两个不共线的向量， ; （3）由平面的法向量的定义，推导出两个不共线向量，和法向量 的数量积为0，建立两 个三元一次方程，赋一个方便计算的特殊值给在某一坐标轴上的坐标（通常赋1, 或使坐标都 为整数的某一值），代入三元一次方程组，解出另外两个坐标，即可求得一个法向量 . 特别地，也可利用题目中已有的垂直条件，找出与平面垂直的向量，即为该平面的法向量. 题型3 平面的法向量的理解 37 1.4 课时2 空间线面位置关系的判定 刷基础 38 1.[湖南郴州2024高二月考] 若直线的方向向量为，平面 的法向量为，则可能使 的是 ( ) D A., B., C., D., 题型1 平行关系的判定与应用 39 解析 直线的方向向量为，平面 的法向量为，若可能有 ，则，即 . A选项，，不符合题意；B选项， ， 不符合题意； C选项， ，不符合题意；D选项， ,符合题意.故选D. 题型1 平行关系的判定与应用 40 2.[山东青岛2023高二期中] 已知直线和平面，若直线的一个方向向量为 ， 向量， ，则下列结论一定正确的为( ) D A. 平面 B.与平面 相交，但不垂直 C.直线 D.平面或 平面 题型1 平行关系的判定与应用 41 解析 ，与不垂直，即与不垂直，所以直线与平面 不垂 直，A错误. ，因此不存在实数，使得，所以与不平行，即直线 与直线 不平行，C错误. 设是平面 的法向量， 则取，得平面的一个法向量 .因为 ，所以，所以直线与平面平行或在平面 内，B错误，D正确. 故选D. 题型1 平行关系的判定与应用 42 3.[广东实验中学2024高二期中] 已知,,为空间内三个不共面的向量，平面 和平面 的法 向量分别为和，若 ，则 ( ) B A.5 B. C.3 D. 题型1 平行关系的判定与应用 43 解析 因为,,为空间内三个不共面的向量，所以{,, 可以作为空间的一个基底， 又平面 和平面 的法向量分别为和且 ， 所以，则，即，所以 解得 所以 .故选B. 题型1 平行关系的判定与应用 44 4.如图，在三棱柱中，，分别是， 的中点，求证： 平面 . 【证明】设，，，则 ， ，.设存在实数对 ，使 得成立，即，即 于 是有，即向量，，共面.又不在，所确定的平面 内，平面 . 题型1 平行关系的判定与应用 45 5.（多选）[辽宁沈阳二中2024高二阶段测试] 已知,分别为直线, 的方向向量（,不重合）， ,分别为平面 ， 的法向量（ ， 不重合），则下列说法中，正确的是( ) ACD A. B. C. D. 题型2 垂直关系的判定与应用 46 解析 选项A,由题设 ，故A正确； 选项B，由题设 ， 或 ，故B错误； 选项C,由题设 ，故C正确； 选项D,由题设 ，故D正确.故选 . 题型2 垂直关系的判定与应用 47 【规律方法】证明同类型平行（线线平行、面面平行）即证对应的方向向量（或法向量）平行； 证明不同类型平行（线面平行）即证对应的方向向量和法向量垂直（线在平面外）; 证明不同类型垂直（线面垂直）即证对应的方向向量和法向量平行. 题型2 垂直关系的判定与应用 48 6.如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心， 是的中点，是的中点，则直线， 的位置关系是( ) C A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直 题型2 垂直关系的判定与应用 49 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， ， ， ，， 直线 ， 的位置关系是异面垂直. 题型2 垂直关系的判定与应用 50 7.已知点，，，则 是( ) C A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 题型2 垂直关系的判定与应用 51 解析 ，，，， 又 ， 为直角非等腰三角形. 题型2 垂直关系的判定与应用 52 8.[甘肃兰州一中2023高二期末] 已知正方体中，点在棱上，直线 平面，则点 的位置是( ) A A.点 B.点 C. 的中点 D.不存在 题型2 垂直关系的判定与应用 53 解析 如图，以为坐标原点，分别以,,所在直线为,, 轴，建立空 间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，,，则,, , ， , . 直线 平面， 平面，， ， ，解得，此时点与点重合．又 , ,,又,, 平面, 平面 ,符合题意. 故选A． 题型2 垂直关系的判定与应用 54 9.[广东深圳2024高二期中] 已知点为坐标原点，点，平面 的法向量为 ，若 ，则 ____. 题型2 垂直关系的判定与应用 55 解析 由题知，因为 ，所以，设 ，则 ，所以解得所以 . 题型2 垂直关系的判定与应用 56 10.已知，，分别是平面 ， ， 的法向量，则 ， ， 三个平面中两两垂直的有___对. 0 题型2 垂直关系的判定与应用 57 解析 ， ， ,，，中任意两个向量都不垂直， , , 三个平面中任意 两个平面都不垂直. 题型2 垂直关系的判定与应用 58 11.[河北部分学校2023高二期中联考] 如图所示，在直三棱柱 中，,,,分别为棱， 的中点.证明：平面 平面 . 题型2 垂直关系的判定与应用 59 【证明】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴，建 立空间直角坐标系， 则，，，，， ， 所以，，， . 设平面的法向量为，则即 令 ,可得平面的一个法向量 . 设平面的法向量为，则 即令,可得平面的一个法向量 . 因为，所以 ， 所以平面 平面 . 题型2 垂直关系的判定与应用 60 12.[浙江台州七校2024高二期中联考] 已知正三棱台 中， ，，,分别为,的中点.求证： 平面 . 题型2 垂直关系的判定与应用 61 【解】将正三棱台补成正三棱锥 ，如图所示. 设点在底面的射影为点，则为等边三角形 的中心， 取的中点，连接，则点在线段上， ， ， 则 ， 因为 平面， 平面，所以，又由已知易得 , 所以 . 以点为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 题型2 垂直关系的判定与应用 62 则,,,0,, , , , ， 则，， ， 所以， ， 所以， ， 又因为，， 平面，所以 平面 . 题型2 垂直关系的判定与应用 13.[福建福州2024高二诊断性测试] 如图①，在边长为4的菱形中， ， 于点，将沿折起到的位置，使 ，如图②. 图① 图② 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 64 （1）求证： 平面 . 【证明】， ， ， ，，, 平面， 平面，又 平面 ， ， 又，，, 平面 ， 平面 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 65 （2）判断在线段上是否存在一点，使平面 平面？若存在，求出 的值；若不 存在，请说明理由. 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 66 【解】不存在.理由如下: 由题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为， ， 轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ， ，， . 设平面的法向量为，则 令，则 . 设，则， . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 设平面的法向量为，则令,可得 . 平面 平面，，解得，， 在 线段上不存在一点，使平面 平面 ． 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 14.[江西南昌一中2024高二月考] 如图，圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ,,为底面圆内两条互相垂直的直径， 是底面圆周上的动点 （异于,），且,在直径的两侧.已知 . （1）若，求证： ； 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 69 【证明】因为 平面, 平面，所以 ， 当时，，如图，连接，则 . 因为，, ， 所以，则，所以 . 又因为,, 平面，所以 平面 ， 又因为 平面，所以 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 70 （2）若在线段上存在点（异于,），使得平面，求 的取值范围. 【解】以为坐标原点，分别以,,的方向为,, 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则,, , , ， 所以, . 设平面的法向量为 ， 则即取，则,，所以 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 71 设，因为， ,所以 ，所以 . 因为平面，所以 ， 即， , 所以,，所以,又，所以 . 即的取值范围为 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 $$