1.3.1 空间直角坐标系～1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教A版2019)

数学 择性必修 第一册 RJA 1 1.3 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 2 1.3 1.3.1 空间直角坐标系+1.3.2 空间向量运算的坐标表示 刷基础 3 1.（多选）关于点 ，下列说法正确的是( ) ACD A.点关于平面的对称点的坐标为 B.点关于轴的对称点的坐标为 C.点关于平面的对称点的坐标为 D.点关于轴的对称点的坐标为 题型1 空间向量的坐标表示 4 解析 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，关于平面 的 对称点是，关于平面的对称点是 . A选项，点关于平面的对称点的坐标为 ，故A正确； B选项，点关于轴的对称点的坐标为 ，故B错误； C选项,点关于平面的对称点的坐标为 ，故C正确； D选项，点关于轴的对称点的坐标为 ，故D正确. 故选 . 题型1 空间向量的坐标表示 5 【规律方法】求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”. 题型1 空间向量的坐标表示 6 2.[山西阳泉一中2024高二期中] 在长方体中，,, ，则 ( ) B A. B. C. D. 题型1 空间向量的坐标表示 7 解析 因为,,，所以，所以 ，故选B. 题型1 空间向量的坐标表示 8 3.[浙江嘉兴高级中学2024高二调研] 已知{，，}是空间的一个基底，，， }是空 间的另一个基底.若向量在基底{，，}下的坐标为，则向量在基底{， ， }下的坐标是( ) D A. B. C. D. 题型1 空间向量的坐标表示 9 解析 向量在基底{，，}下的坐标为， .设向量在基底 {，，}下的坐标是 ，则， 解得即 .故选D. 题型1 空间向量的坐标表示 10 4.已知,,那么向量 ( ) B A. B. C. D. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 11 解析 向量 ，故选B. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 12 5.[北京师范大学附属中学2023高二期中] 已知，，则线段上靠近点 的三 等分点的坐标为( ) B A. B. C. D. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 13 解析 设线段上靠近点的三等分点为 . 根据题意可得出，即 ， 所以解得 即点 .故选B. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 14 6.[辽宁沈阳2024高二月考] 空间中，若向量,,共面，则 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 15 解析 因为，，所以, 不共线，可以取为一个基底.若向量 ，， 共面， 则存在实数,，使得，即 , 即解得 故选C. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 16 7.已知的三个顶点坐标分别为,,,则 的重心坐标为( ) B A. B. C. D. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 17 解析 设的重心的坐标为，为坐标原点，的中点为 ，则 ,即,,.故 的重心坐标为 .故选B. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 18 8.若在中， ，，，，则实数 的值为( ) D A. B. C. D. 题型3 空间向量数量积运算的坐标表示 19 解析 , , , . 题型3 空间向量数量积运算的坐标表示 20 9.[山东泰安一中2024高二月考] 已知空间直角坐标系中，, , ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 题型3 空间向量数量积运算的坐标表示 21 解析 因为点在直线上运动，所以，设，于是有 . 因为，，所以， ， 因此， ， 于是得 ， 则当时，，此时点,,，所以当取得最小值时，点 的坐标为 ,, .故选C. 题型3 空间向量数量积运算的坐标表示 22 10.已知向量，，则 ( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 题型4 向量的模与两点间的距离 23 解析 因为向量，，所以 ，则 ，故选B. 题型4 向量的模与两点间的距离 24 11.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体 ，则 的中点到的中点 的距离为( ) B A. B. C.2 D.1 题型4 向量的模与两点间的距离 25 解析 由题知，，的中点，，的中点 ， 的中点到的中点的距离为 . 故选B. 题型4 向量的模与两点间的距离 26 12.[北京第三十五中学2024高二期中] 在空间直角坐标系中，已知 ， ，其中，则 的最大值为( ) D A.3 B. C. D.4 题型4 向量的模与两点间的距离 27 解析 因为，，所以，且 ， 其中点 可以看作球心在原点，半径为1的球面上的点,所以 表示球面上的点到点 的距离，最大值为球心到点 的距离再加上球的半径，即 .故选D. 题型4 向量的模与两点间的距离 28 13.在空间直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且点到点与到点 的距 离相等，则点 的坐标是__________. 题型4 向量的模与两点间的距离 29 解析 设.由 得 , 解得，所以 . 题型4 向量的模与两点间的距离 30 14.[黑龙江齐齐哈尔2024高二期中] 已知空间中有三点,, ，则向量 与 的夹角为( ) C A. B. C. D. 题型5 向量夹角 31 解析 由已知可得，，所以, .又 ,，所以, ．故选C. 题型5 向量夹角 32 15.[四川成都外国语学校2024高二月考] 已知向量，，若与 的夹角 为钝角，则实数 的取值范围为___________________. 题型5 向量夹角 33 解析 ； . 综上,且 . 故实数的取值范围为 . 题型5 向量夹角 34 【特别注意】由与的夹角为钝角可得且与 不共线，注意不要忽略两个向量反向共线 的情况. 题型5 向量夹角 35 16.已知空间向量,，则, 的位置关系是( ) A A.垂直 B.平行 C.异面 D.根据 的取值而定 题型6 向量的平行与垂直 36 解析 向量,，， .故选A. 题型6 向量的平行与垂直 37 17.[山西省实验中学2024高二期中] 若，，三点共线，则 ( ) A A.4 B. C.1 D.0 题型6 向量的平行与垂直 38 解析 因为，，所以，解得．故 ．故选A. 题型6 向量的平行与垂直 39 18.[辽宁大连八中2024高二期中] 已知向量,，若，则 ( ) D A.1 B. C. D.3 题型6 向量的平行与垂直 40 解析 由题意,， ，所以，解得 . 故选D. 题型6 向量的平行与垂直 41 19.已知向量,，则以, 为邻边的平行四边形的面积为_____. 题型6 向量的平行与垂直 42 解析 ,，，故以, 为邻边的平行四边形 为矩形，其面积为 . 题型6 向量的平行与垂直 43 20.（多选）[江西南昌二中2024高二期中] 已知空间向量， ，则下列结 论正确的是( ) BCD A. B. C. D.在上的投影向量为 题型7 投影向量 44 解析 易知，显然 ，故A错误； 易知, ，则 ，故B正确； 易知，则 ，故C正确； 在上的投影向量,,，故D正确.故选 . 题型7 投影向量 45 21.已知空间向量，则向量在坐标平面 上的投影向量的模是_____. 题型7 投影向量 46 解析 当以坐标原点为始点时，其终点在坐标平面 上的投影坐标为 ，所以向量在坐标平面上的投影向量 ，所以 . 题型7 投影向量 47 22.[云南昆明2023高二期中] 已知向量，，并且， 同向，则 ， 的值分别为_____. 1,3 易错点1 “两向量同向”理解不清致误 48 解析 由题意知,所以,即 把①代入②,得,解得或 . 当时,；当时, . 当时, , 此时, 反向,不符合题意,舍去. 当时,,此时与同向,所以 易错点1 “两向量同向”理解不清致误 49 【易错警示】只考虑 ,忽视了向量同向，导致多解. 易错点1 “两向量同向”理解不清致误 50 23.已知，，为原点，则与 的夹角是( ) B A.0 B. C. D. 易错点2 忽视夹角的意义而致错 51 解析 ,且,, , .,,,，, . 易错点2 忽视夹角的意义而致错 52 24.已知向量,，若向量与的夹角为锐角，则实数 的取值范 围是___________________. 易错点2 忽视夹角的意义而致错 53 解析 因为,，所以， .因为向量 与的夹角为锐角，所以 ，解 得 . 当时，，解得，所以实数 的取值范围为 . 易错点2 忽视夹角的意义而致错 54 【易错警示】当两个向量的夹角为锐角时，其数量积大于0；但当两个向量的数量积大于0时，两 个向量的夹角可能为0.所以解决此类问题时，注意排除同向共线的情况. 易错点2 忽视夹角的意义而致错 55 $$