1.2.5 空间中的距离-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 1.2.5 空间中的距离 刷基础 3 1.在空间直角坐标系中，已知两点， ，则这两点间的距离为( ) C A. B. C. D.18 题型1 空间中两点之间的距离 4 解析 已知在空间直角坐标系中，， ，则这两点间的距离 .故选C. 题型1 空间中两点之间的距离 5 2.如图所示，在平行四边形中，， ，将它沿对角线 折起，使直线与成 角，则, 间的距离等于( ) C A. B.1 C.或2 D.1或 题型1 空间中两点之间的距离 6 解析 ,,同理， . 又与成 角，, 或, . ，,，或 ， 或 ，故选C. 题型1 空间中两点之间的距离 7 3.[辽宁沈阳实验中学2023高二开学考试] 正四棱柱 中，底面边长为1，侧棱长 为2,,分别是异面直线和上的任意一点，则, 间距离的最小值为__. 题型1 空间中两点之间的距离 8 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ， ，所以，， . 设且 即令，则，，所以，所以异面直线 和的距离，所以,间距离的最小值为 . 题型1 空间中两点之间的距离 9 【规律方法】求异面直线距离的方法 先求两异面直线的公共法向量,再求两异面直线上任意两点的连接线段在公共法向量上的射影长. 公共法向量可以利用向量数量积找到，设两异面直线上任意两点所连成的向量为，且, 的 夹角为 ，则异面直线的距离 . 该公式可以这样理解:设异面直线和,其中是公垂线，, 是两条直线上任意的两点.明显 地，，，根据射影的定义可知，是的射影，而 就是异面直线的距离. 题型1 空间中两点之间的距离 10 4.[山东临沂2024高二学科素养水平监测] 已知过坐标原点的直线的方向向量 ，则点 到直线 的距离是( ) D A.2 B. C. D. 题型2 点到直线的距离 11 解析 由题意可知，在直线上的投影向量的模长为，所以点到直线 的距离.故点到直线的距离是 .故选D. 题型2 点到直线的距离 12 5.[山西太原2024高二期中学业诊断] 如图，正方体 的棱长为 2，是的中点，则点到直线 的距离为( ) D A. B. C. D. 题型2 点到直线的距离 13 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，连接,则, , , 所以, ， 所以点A到直线的距离为 .故选D. 题型2 点到直线的距离 14 6.[浙江台州2024高二期中] 在空间直角坐标系中，已知点,, ，则点 到平面 的距离是( ) B A. B. C. D. 题型3 点到平面的距离 15 解析 依题意可得,，，设平面 的法向量为 ， 则令，则可得,，即，所以点到平面 的距离 .故选B. 题型3 点到平面的距离 16 7.[广东惠州实验中学2024高二月考] 在四棱锥中，， ， ，则该四棱锥的高为( ) D A. B. C. D. 题型3 点到平面的距离 17 解析 设平面的法向量为，则即令 ，可得 ，，则 . 点到平面的距离为 ,即为该四棱锥的高.故选D. 题型3 点到平面的距离 18 8.已知平面 的一个法向量，点在平面 内，若点到 的距 离为，则 ( ) C A.16 B. C.4或 D. 或16 题型3 点到平面的距离 19 解析 由点在平面 内，点，可得 . 因为平面 的一个法向量，且点到 的距离为 ， 所以，即，解得或 .故选C. 题型3 点到平面的距离 20 9.[广东佛山顺德区2023高二期中] 如图，在长方体 中， ， ，求： （1）点到直线 的距离； 题型3 点到平面的距离 21 【解】以点为坐标原点，，，的方向分别为，， 轴的正方向 建立空间直角坐标系. 因为，，则，， ， ，，，所以 ， ，所以在上的投影向量的模为 ， 又，所以点到直线 的距离 . 题型3 点到平面的距离 22 （2）点到平面 的距离； [答案] 由（1）知，， . 设平面的法向量 ， 则所以取，可得，，所以 是平面 的一个法向量.向量在法向量 上的投影向量的模为 ，所以点到平面的距离为 . 题型3 点到平面的距离 23 （3）异面直线, 之间的距离. [答案] 由（1）知，，所以 . 又 平面， 平面，所以平面，所以异面直线, 之间的 距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量 ，因为 ，则 所以取，可得，，所以是平面 的一个 法向量，向量在法向量 上的投影向量的模为 ，所以点到平面的距离为,故异面直线, 之间的距离 为 . 题型3 点到平面的距离 24 $$