1.2 空间向量基本定理-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教A版2019)

数学 择性必修 第一册 RJA 1 1.2 1.2 空间向量基本定理 刷基础 2 1.[广东江门2024高二期中] 在长方体 中，可以作为空间的一个基底的是( ) C A.，， B.，， C.，， D.，， 题型1 空间向量基本定理的理解 3 解析 长方体 如图所示. 对于A，因为，所以，，共面，故，， 不能作为基底，故A错误； 对于B，因为，所以，，共面，故 ， ， 不能作为基底，故B错误； 对于C，因为，，不共面，所以，， 可以作为基底，故C正确； 对于D，因为，，共面，且，所以，，共面，故， ， 不能作为基底，故D错误.故选C. 题型1 空间向量基本定理的理解 4 【归纳总结】基底的判断 判断三个向量能否构成空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可 以用反证法进行判断.假设向量,, 不能构成空间的一个基底，看是否存在一对实数 ， ，使得 ，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立. 题型1 空间向量基本定理的理解 5 2.在空间四点，，，中，若，， ｝是空间的一个基底，则下列说法不正确的是 ( ) B A.，，，四点不共线 B.，，， 四点共面，但不共线 C.，，，四点不共面 D.，，， 四点中任意三点不共线 题型1 空间向量基本定理的理解 6 解析 选项A对应的说法是正确的,若四点共线,则向量,, 共面,构不成基底；选项B对应的说 法是错误的,若四点共面,则,, 共面,构不成基底；选项C对应的说法是正确的,若四点共面, 则,, 共面，构不成基底；选项D对应的说法是正确的,若有三点共线,则这四点共面,故向量 ,, 构不成基底. 题型1 空间向量基本定理的理解 7 3.（多选）[四川绵阳南山中学2024高二月考] 已知{，， }是空间的一个基底，则下列说法正 确的是( ) BCD A. B.若，则 C.在上的投影向量为 D.，， 一定能构成空间的一个基底 题型1 空间向量基本定理的理解 8 解析 A选项，当,不共线时，与共线，与共线，故 不可 能成立，故A不正确选项，,, }是空间的一个基底，故三个向量不共面且两两共面不共线，假 设,,不全为0，不妨设，此时有，故，矛盾；不妨设, ，此时 ，故,共线，矛盾；若三者均不为0，即，此时,, 共面，矛盾，综 上，假设不成立，故，B正确选项，在上的投影向量为，C正确 选项，设 ，即 无解， 故，，不共面，一定能构成空间的一个基底，D正确.故选 . 题型1 空间向量基本定理的理解 9 4.[河南濮阳一高2024高二月考] 若{,,是空间的一个基底，且向量 , ,不能构成空间的一个基底，则 ( ) D A. B. C. D. 题型1 空间向量基本定理的理解 10 解析 因为向量,, 不能构成空间的一 个基底,所以,,共面，故存在实数,使得 ，即 . 因为{,,是空间的一个基底，所以解得 故选D. 题型1 空间向量基本定理的理解 11 【规律方法】三个向量能构成一组基底 三个向量不共面； 三个向量不能构成一组基底 三个向量共面 一个向量可以由另外两个向量线性表示. 题型1 空间向量基本定理的理解 12 5.在四棱锥中，底面是正方形，是的中点.若, , ，则 ( ) C A. B. C. D. 题型2 空间向量基本定理的应用 13 解析 .故选C. 题型2 空间向量基本定理的应用 14 6.[湖北襄阳2023高二联考] 如图，在平行六面体中，， 分别在棱和上，且.记 ，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 空间向量基本定理的应用 15 解析 设 ，因为 ，所以，， . 因为 ， 所以 .故选B. 题型2 空间向量基本定理的应用 16 7.[山东德州2024高二月考] 如图，在三棱锥中，点为底面 的重 心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，， 于点，，.若，，，则 ( ) D A. B. C. D. 题型2 空间向量基本定理的应用 17 解析 由题意可知， , 因为，，，四点共面，所以存在实数 , ，使 ，所以 ， 所以 ， 所以所以 ．故选D. 题型2 空间向量基本定理的应用 18 【规律方法】空间向量基底求系数的方法 关键在于列出系数的方程，而列出方程的关键在于将同一个向量在同一个基底下“写两次”.而在 同一个基底下，一个空间向量的分解是唯一的，故系数对应相等，便可以列出方程,从而求得系数. 题型2 空间向量基本定理的应用 19 8.平行六面体中，，， ， 则 ______. 题型2 空间向量基本定理的应用 20 解析 由题设，作出示意图. 由图得 ， ， 则 . 题型2 空间向量基本定理的应用 21 9.如图，在三棱柱中， ,, 平面,,分别是,的中点.求证: . 题型2 空间向量基本定理的应用 22 【证明】选取,,}作为空间的一个基底,设，, . 由已知条件和三棱柱的性质，得 ,,,,, , , .因为 ,所以 ,即 . 题型2 空间向量基本定理的应用 23 $$