1.1.2 空间向量的数量积运算-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教A版2019)

数学 择性必修 第一册 RJA 1 1.1 1.1 空间向量及其运算 2 1.1 1.1.2 空间向量的数量积运算 刷基础 3 1.（多选）[江西宜春2024高二月考] 设， 为空间中的任意两个非零向量，则下列各式中正确 的有( ) AD A. B. C. D. 题型1 数量积的概念及运算律 4 解析 由数量积的性质和运算律可知 是正确的. 题型1 数量积的概念及运算律 5 2.已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直.若，，则 的 值为( ) C A.7 B. C.28 D.11 题型1 数量积的概念及运算律 6 解析 向量，，是一组单位向量，且两两垂直，所以且 . 因为，，所以 . 故选C. 题型1 数量积的概念及运算律 7 3.已知单位向量，满足，则 ( ) D A. B.1 C. D.0 题型2 求向量的数量积 8 解析 ,是单位向量，， ，故 ， .故选D. 题型2 求向量的数量积 9 4.[河北石家庄2024高二月考] 如图，三棱锥的棱长均为，点，， 分别是，，的中点，则 ( ) D A. B. C. D. 题型2 求向量的数量积 10 解析 由题意知三棱锥为正四面体.如图所示,取的中点，连接, ， 则,，,, 平面，所以 平面 .又 平面，所以，点，，分别是，， 的中点，所以 ,，所以，且 ．所以 ，， ， ，故选D． 题型2 求向量的数量积 11 【特别注意】在数量积问题中，求解的关键是正确确定向量的夹角，一定要把两个向量的起点平 移到同一位置上. 题型2 求向量的数量积 12 5.[湖南邵阳二中2023高二开学考试] 已知空间向量,,满足，, , ，则 的值为_____. 题型2 求向量的数量积 13 解析 因为，所以，则 ， 因此 . 题型2 求向量的数量积 14 6.如图所示，在空间四边形中，，且，则 ， 的值为( ) B A. B.0 C. D. 题型3 向量的夹角及其应用 15 解析 在空间四边形中，，， ， ，， .故选B. 题型3 向量的夹角及其应用 16 7.[北京丰台2024高二月考] 已知空间向量，，满足，， 且 ，则与 的夹角大小为( ) C A. B. C. D. 题型3 向量的夹角及其应用 17 解析 由题意知，则 , ，所以,.又,，可得,，即, .故选C. 题型3 向量的夹角及其应用 18 8.设,,,是空间不共面的四点，且满足，，，则 一 定是( ) B A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 题型3 向量的夹角及其应用 19 解析 因为，， ， 所以 ，所以 ，故是锐角.同理，，可得, 都是 锐角，故 是锐角三角形，故选B. 题型3 向量的夹角及其应用 20 9.[北京人大附中2023高二期中] 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三 角形）中，，分别为，的中点，则直线和 夹角的余弦值为 ( ) A A. B. C. D. 题型3 向量的夹角及其应用 21 解析 在正四面体（四个面都是正三角形）中， . 因为，分别为，的中点，所以, ，且 ， 则，所以,，即直线和夹角的余弦值为 .故选A. 题型3 向量的夹角及其应用 22 10.四边形为矩形， 平面，连接，，，， ，下列各组运算中，不 一定为零的是( ) A A. B. C. D. 题型4 向量垂直 23 解析 对于A：由 平面, 平面,得,若与 垂 直，,, 平面,则平面与垂直，又 平面 ,则 与垂直，与矩形中，不一定垂直矛盾，所以与 不一定垂 直，即向量，不一定垂直，则 不一定为零； 对于B：根据题意，有 平面， 平面,则，又由 ， ,, 平面,得 平面，又 平面,进而得 ，即向量 ，一定垂直，则 一定为零； 对于C：根据题意，有 平面， 平面,则，又由 ， ,, 平面得 平面，又 平面,进而得 ，即向量 ，一定垂直，则 一定为零； 对于D：根据题意，有 平面， 平面,则，即向量， 一定垂直， 则 一定为零.故选A. 题型4 向量垂直 24 11.[山东师范大学附属中学2024高二月考] 如图，在平行六面体 中，， .若 ，则的值 5为( ) D A.1 B. C. D. 题型4 向量垂直 25 解析 设,,，且, ， 由向量的线性运算，可得， . 又因为， ，可得 ， 即，即，解得或（舍去），即的值为 .故选D. 题型4 向量垂直 26 12.[山西太原2024高二期中学业诊断] 如图，四面体 各棱的棱长都是1， 是的中点，是的中点，记,, ． （1）用向量,,表示向量 ； 题型4 向量垂直 27 【解】连接 ，如图所示,则 . 题型4 向量垂直 28 （2）利用向量法证明： ． 【证明】 ， 所以 ， 所以 . 题型4 向量垂直 29 13.已知空间向量,,两两夹角均为 ，其模均为1，则 ( ) B A. B. C.2 D. 题型5 利用数量积求向量的模 30 解析 .所以 .故选B. 题型5 利用数量积求向量的模 31 14.[山西运城2023高二月考] 如图，四面体中，，分别为, 的中 点，，，且向量与向量的夹角为 ，则线段 的长为 ( ) A A. B. C.或 D.3或 题型5 利用数量积求向量的模 32 解析 如图所示，取的中点，连接,，又，分别为,的中点， ， 且，，且 . 向量与向量的夹角为 ， 向量与向量的夹角为 ，又 ， ， ，即线段的长为 .故选A. 题型5 利用数量积求向量的模 33 15.已知在矩形中，，，将矩形沿对角线 折起， 使平面与平面垂直，则 ( ) A A. B. C. D.2 题型5 利用数量积求向量的模 34 解析 过点，分别向作垂线，垂足分别为，（图略），则可得,, , ,.由于,所以 , 所以 .故选A. 题型5 利用数量积求向量的模 35 16.（教材变式）[四川南充高中2024高二期中] 如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为 ．记，， ． （1）求 的模； 【解】由题意知，,,, ， . 又 ， ， ，即的模为 . 题型5 利用数量积求向量的模 36 （2）求与 夹角的余弦值． [答案] ， ， ， ， ,，即与夹角的余弦值为 ． 题型5 利用数量积求向量的模 37 【链接教材】本题是教材第7页例2的变式与延伸，空间中的线段长度问题，可以用已知模和夹角 的向量来表示，再根据求向量的模的公式和数量积运算规律求模；求向量夹角，可以将向量分解 成已知模和夹角的向量，通过向量的数量积运算求得夹角，是空间向量数量积的常见应用. 题型5 利用数量积求向量的模 38 17.[河北保定2024高二开学考] 如图，， 分别是圆台上、下底面的两条 直径，且，，是弧上靠近点的三等分点，则 在 上的投影向量是( ) C A. B. C. D. 题型6 投影向量 39 解析 如图，取在下底面的投影，作，垂足为 . 连接，，，则，在上的投影向量是 . 设上底面的半径为，则，.故在 上的投影向量是 .故选C. 题型6 投影向量 40 18.已知向量，满足，，，则在 上的投影向量的模为___. 1 题型6 投影向量 41 解析 因为向量,满足，， ，所以 ， ， 所以，，所以在上的投影向量的模为 . 题型6 投影向量 42 19.[吉林长春吉大附中实验2024高二月考] 如图，已知正方体 的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量 上的投影向量的模的取值 范围为________． 题型6 投影向量 43 解析 由已知为棱上的动点，设 ，因为 ，所以 ， 所以向量在向量 上的投影向量的模为 ，又，所以，所以 ， 所以向量在向量上的投影向量的模的取值范围为 . 题型6 投影向量 44 【规律方法】对于空间几何体某一棱上的动点问题，可以设向量的数乘来引入参数表示动点，用 含参式表示所求量，再根据参数的取值范围得到所求式的取值范围. 题型6 投影向量 45 1.1 1.1.2 空间向量的数量积运算 刷提升 46 1.在正方体 中，有下列说法： ；；与的夹角为 . 其中说法正确的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 47 解析 由题意知，，则 ,又知 ，，则，故①②正确.③不正确,与 的夹角即为 与的夹角，即为 . 48 2.已知空间向量，，，，且与垂直，则与 的夹角为( ) D A. B. C. D. 49 解析 与垂直,, , ,,,., ,, . 50 3.（多选）[湖北六校2023高二期中联考] 定义空间两个非零向量的一种运算： , ，则关于上述空间向量运算的结论恒成立的有( ) BD A. B. C.若，则 D. 51 解析 对于A，若 为负数，可知 ，故A错误； 对于B，由定义知B正确； 对于C，若，则,，则, 共线，故C错误； 对于D，由定义知,，故D正确.故选 . 52 4.[北京首师大附中2023高二月考] 已知正三棱锥的底面的边长为2， 是空间中任 意一点，则 的最小值为( ) A A. B. C. D. 53 解析 如图所示，设中点为,连接,设的中点为 ,则 . , 当与重合时，取最小值0.此时有最小值 ，故选A. 54 5.（多选）[山东日照2024高二月考] 在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图①，这 是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个 碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面 体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图②所示．这 就是说，图②中有，若正四面体 的棱长为4，则( ) BCD 图① 图② A. B. C. D. 55 解析 由题意得是正四面体 外接球的球心． 如图所示,设点是顶点在底面的射影，连接,则是正四面体的高，点 在上，是 的外接圆半径， 取的中点，的中点，连接,，，则在上，在 上， 则， . 因为，即，则 ， 解得 ． 对于A， ，故A错误； 对于B，因为，， ， 所以， ， 56 则，又，，则 ， 所以 ，故B正确； 对于C，因为 底面， 底面，所以，所以 ，故C正确； 对于D，因为,,，所以 , ，故D正确．故选 . 6.[辽宁东北育才学校2024高二月考] 已知空间向量，，两两之间的夹角均为 ，且 ，，.若向量，分别满足与，则 的最小 值为________． 58 解析 依题意得， ， . 因为，所以 ，所以 ，所以.令，则 ，且 .由，得 ，所 以，所以 ，当且仅当，, 共线同向时等号成立. 59 【名师点拨】解题关键是把已知条件由结合已知变形得出 ，引 入向量，可得，又由,得到 的最小值，从而由向量模的三角 不等式得出结论． 60 7.[湖北十堰2024高二期中] 如图，已知正方体 的棱长为4， ，，分别是棱，，的中点，设 是该正方体表面上的一点，若 , )． 61 （1）求点 的轨迹围成图形的面积； 【解】因为，所以点在平面 上，如图，分 别取，，的中点,,，连接,,,,,,, . 因为,分别为，的中点，所以 . 又由正方体可得，， ， ， 所以，且，故四边形为平行四边形，故 . 故，故,,,四点共面，同理可证,,,四点共面，同理可证, ,, 四点共面， 故,,,,,六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形， 62 故点的轨迹是正六边形 . 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为 ， 所以点的轨迹围成图形的面积是 ． 63 （2）求 的最大值． [答案] 如图，根据向量数量积的几何意义可得, 当点位于点时， 最大，故 ， 所以 的最大值为12． 64 $$