1.1.1 空间向量及其线性运算-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教A版2019)

数学 择性必修 第一册 RJA 1 1.1 1.1 空间向量及其运算 2 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算 刷基础 3 1.下列命题为真命题的是( ) A A.空间向量与 的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 题型1 空间向量概念的理解 4 解析 对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与 的长度相等，所以A 为真命题； 对于B，将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B为假命题； 对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C为假命题； 对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与 的模相等， 所以D为假命题. 故选A. 题型1 空间向量概念的理解 5 2.（多选）[山东聊城2024高二月考] 下列命题正确的有( ) ABC A.在正方体中，必有 B.是向量 的必要不充分条件 C.若空间向量,,满足，，则 D.若空间向量,,满足，，则 题型1 空间向量概念的理解 6 解析 和的长度相等、方向相同，则 ，故A正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和 的模相等，方向也相同，所 以是向量 的必要不充分条件，故B正确； 根据向量相等的定义可知C正确；向量的平行不具有传递性，当 为零向量时，零向量与任何向量 都平行，但,不一定平行，故D错误.故选 ． 题型1 空间向量概念的理解 7 3.[广东深圳2024高二期中] 在长方体中， ( ) A A. B. C. D. 题型2 向量的加法运算 8 解析 .故选A. 题型2 向量的加法运算 9 【名师点拨】空间向量是向量从二维到三维的推广，学习空间向量可以类比平面向量，在空间中， 向量加法的平行四边形法则、三角形法则，以及相关的运算律仍然存在. 题型2 向量的加法运算 10 4.已知四边形，为空间中任意一点，且，则四边形 是( ) A A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 题型2 向量的加法运算 11 解析 ， ,且 四边形 为平行四边形. 题型2 向量的加法运算 12 5.[江西新余2024高二月考] 在四面体中， ( ) C A. B. C. D. 题型3 向量的减法运算 13 解析 .故选C. 题型3 向量的减法运算 14 6.[湖南长沙长郡中学2023高二期中] 在棱长为1的正方体 中， ( ) B A.1 B. C. D.2 题型3 向量的减法运算 15 解析 .故选B. 题型3 向量的减法运算 16 7.（教材变式）[广东江门2024高二期中] 如图，已知平行六面体 ，化简下列各式： （1） ； 【解】因为，，所以 ． 题型3 向量的减法运算 17 （2） ． [答案] 因为，所以 ． 题型3 向量的减法运算 18 【链接教材】本题与教材第5页练习第2题类似，考查空间向量的加减运算，在任意的空间几何体 中，向量的减法都可以转化为加法，向量的加法可以根据三角形法则（首尾顺次相连）得到. 题型3 向量的减法运算 19 8.[湖北武汉华中师大一附中2024高二期中] 如图所示，在平行六面体 中，为与的交点.若,, ，则 ( ) D A. B. C. D. 题型4 数乘概念的理解及运算 20 解析 . 故选D. 题型4 数乘概念的理解及运算 21 【名师点拨】对空间向量进行线性运算时，要尽可能地使空间向量转化为平行四边形或三角形中 的向量，运用向量加法的平行四边形法则、三角形法则，利用三角形的中位线、相似三角形等平 面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行运算. 题型4 数乘概念的理解及运算 22 9.[河南南阳一中2024高二月考] 如图，在三棱柱中，, 分别是 ,的中点，为的重心，则 ( ) A A. B. C. D. 题型4 数乘概念的理解及运算 23 解析 由题意可得 .故选A. 题型4 数乘概念的理解及运算 24 【规律方法】三角形的重心 为三角形三条中线的交点，同时也是中线的三等分点. 题型4 数乘概念的理解及运算 25 10.在空间四边形中，连接，.若是正三角形，且 为其中心，则 的化简结果为___. 题型4 数乘概念的理解及运算 26 解析 如图,取的中点,连接,则 , 故 . 题型4 数乘概念的理解及运算 27 11.[河南郑州十校2024高二期中联考] 在下列命题中： ①若空间向量,共线，则空间向量, 所在的直线平行； ②若空间向量,所在的直线为异面直线，则空间向量, 一定不共面； ③若三个空间向量,,两两共面，则向量,, 共面； ④若空间向量,共线，则，，， 四点不一定共面. 其中真命题的个数是( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 题型5 向量共线、共面的判定及应用 28 解析 对于①，若向量,共线，则向量, 所在的直线可能平行，也可能重合，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，故两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如正方体 中，,, 两两共面，但显然三个向量不共面，故③错误； 对于④，若空间向量,共线，则，，， 四点不一定共线，但一定共面，故④错误.所以 四个选项都是错误的.故选A. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 29 【规律方法】（1）向量是自由的，可以平移，因此相等向量并不意味着起点和终点一定分别重合. （2）两个点一定共线，三个点一定共面，若要三个点共线，则其中任意两个点为起止点的两个 向量共线. （3）因为向量可以平移，所以两个向量一定共面.四个点共面，则其中任意两个点为起止点的三 个向量一定共面. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 30 12.[福建莆田2024高二月考] 已知不共线向量，，， ， ， ，则一定共线的三个点是( ) D A.,, B.,, C.,, D.,, 题型5 向量共线、共面的判定及应用 31 解析 若，则存在唯一实数使得，即 ， 所以无解，所以,不共线，则,, 三点不共线; 若，则存在唯一实数使得，即 ， 所以无解，所以,不共线，则,, 三点不共线; ，若，则存在唯一实数使得 ，即 ，所以无解，所以,不共线，则,, 三点不共线;，所以，又点 为两向量的公共端 点，所以,, 三点共线.故选D. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 32 13.[浙江温州十校2024高二联考] 已知，，三点不共线，为平面 外的任意一点，则 “点与点,， 共面”的充分条件是( ) B A. B. C. D. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 33 解析 设，若,则点与点,, 共面.对于A： ，不满足题意；对于B： ，满足题意；对 于C：，不满足题意；对于D： ，不满 足题意.故选B. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 34 14.[山东济宁实验中学2024高二期中] 已知,,, 为空间中不共面的四点，且 .若,,,四点共面，则实数 的值是( ) C A. B. C. D. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 35 解析 ,,,四点共面， 必存在唯一一组有序实数对使得 ， ，即 . ,,,四点不共面，，否则,,三点共线，即,,, 四点共面，与题意不符. ，则有 ， 故而， .故选C. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 36 【二级结论】如果点,,不共线，且点不在平面内，那么对空间中任意一点 ，存在唯一 的有序实数组，使得,则,,, 四点共面. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 37 15.[四川成都树德中学2024高二期中] 在三棱锥中，在线段上，满足, 是 平面内任意一点，，则实数 __. 题型5 向量共线、共面的判定及应用 38 解析 依题意， ， 则 ， 由于,,,四点共面，所以,解得 . 题型5 向量共线、共面的判定及应用 39 16.[重庆杨家坪中学2024高二月考] 如图，已知,分别为四面体 的平面 与平面的重心，为上一点，且.设, , . （1）请用,,表示 ； 【解】 ． 题型5 向量共线、共面的判定及应用 40 （2）求证：,, 三点共线. 【证明】 ,结合（1）得，又,有公共点 ， ，， 三点共线． 题型5 向量共线、共面的判定及应用 41 17.（多选）下列命题是假命题的是( ) BD A.若向量，则与， 共面 B.若与，共面，则 C.若，则，，， 四点共面 D.若，，，四点共面，则 易错点 共面定理理解错误 42 解析 为真命题中需满足,不共线,D中需满足,, 三点不共线. 易错点 共面定理理解错误 43 【易错警示】对于空间向量,,,共线向量定理要求中 ,共面向量定理要求 中, 不共线. 易错点 共面定理理解错误 44 18.已知空间任意一点和不共线的三点，，.若 ，则 “，，”是“，，， 四点共面”的( ) B A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点 共面定理理解错误 45 解析 当,,时, ,则 ,即,根据共面向量定理知,,,, 四点共面.反之,当,,, 四点共面时,根据共面向量定理, 设,即 ,即 ,即,,,这组数显然不止2, ,2.故 “,,”是“,,, 四点共面”的充分不必要条件.故选B. 易错点 共面定理理解错误 46 【易错警示】注意不共线的三点,,,,设 , ,,,四点共面.若为空间中任意一点，则,;若为不在平面 内的任意一点， 则 . 证明过程详见狂重点 3. 易错点 共面定理理解错误 47 $$